第七章-参数估计

点估计:

• 估计一个数,就是点估计

区间估计:

• 范围内的估计

参数估计:

• 通过抽取样本构造函数来估计参数
• 参数的空间: 就是参数的取值范围

矩估计:

• 用样本的矩代替总体的矩
  • 一阶: X' = 1/nΣXi
  • 二阶: A₂ = 1/nΣXi²

极大似然估计:还是用样本数据的极值估计参数

• 做题步骤: 
  1. 写总体的概率函数(离散型)或者密度函数(连续型)函数
  2. 写似然函数L(λ), 此时λ是参数, 此时要化简下似然函数
  3. 两变同时取对数ln, ln(λ)
  4. 对λ求导且令导函数为0, 求出λ

点估计的优良准则:

• 无偏性: Eθ' = θ
• 总体X,EX = μ, DX = σ2,  (x₁, x₂,...x_n)未样本
  • X'是μ的无偏估计, EX' = μ
  • 样本方差S²是σ²的无偏估计, ES² = σ²
  • 未修正方差S₀²是σ²的有偏估计
  • θ'是θ的无偏估计, g(θ')不一定是g(θ)的无偏估计
  • S²是σ²的无偏估计, S2½不是σ2½的五片估计
• 有效性: D(θ'1)≤D(θ'2)
  • 总体:X, EX=μ, DX=σ2
  • a₁²+...+a_n² ≥1/n
• 想合性: 一致性
  • limn→∞P(|θ'-θ|<ξ) = 1

置信区间

• 区间估计:
  • 区间的长度
  • 区间的概率
  • P(θ1'≤θ≤θ2') = 1-α   (1-α为置信度, 其实就是落在区间长度的概率)

枢轴变量

• 枢轴变量是样本合待估参数的函数, 枢轴法是用来构造未知参数置信区间最常用的方法
• 给定1-α, 确定F的上α/2分位数, 上(1-α/2)分位数→V_1-α/2  
• 公式:
  • P(-μ_α/2≤n^½(x'-μ)/σ≤μ_α/2) = 1-(α/2)

μ(已知)	σ2(已知)	(x'-μ)/σn½ ~ N(0,1)	[x'–σ/(n½)μα/2, x'+σ/(n½)μα/2]
μ(未知)	σ2(未知)	(x'-μ)/sn½ ~ t(n-1)	[x'-s/(n½)tα/2(n-1), x'+s/(n½)tα/2(n-1)]
σ2(已知)	μ(已知)	1/σ2Σ(xi-μ)2 ~ X2(n)	[Σ(xi-μ)2/X2α/2(n), Σ(xi-μ)2/X21-(α/2)(n)]
σ2(未知)	μ(未知)	(n-1)S2/σ2 ~ X2(n-1)	[(n-1)s2]/[X2α/2(n-1)], [(n-1)s2]/[X21-(α/2)(n-1)]