第八章- 假设检验

假设检验问题: 

• 总体的分布未知
  • 类型未知
  • 参数未知
• 对总体分布(未知)的某种推断,-假设
• 提出假设:
  • 原假设(零假设)-一般没有足够的理由否定的原问题
  • 备择假设(对立假设)-和原问题对立的假设

假设检验的概念:

• 对总体分布的论断就是假设检验
• 假设检验:检验假设成立与否的过程, 利用样本信息加以检验
• 假设检验问题:
  • 显著性假设检验问题-唯一假设H₀
  • H₀对H₁假设检验问题
• 思想: 构造统计量T(在H₀成立的情况下)→T的分布, 检验得到↔P{T←I}=α(小)
  • P{(X1,...Xn)€W} = α  (W:叫做H₀的拒绝域)
  • P{(X1,...Xn)€W'} = 1-α  (W':叫做H₀的接受域)
• 步骤:
  • 提出原假设H₀, H₁
  • 假定H₀成立, 取统计量T, 分布已知
  • 对于给定的α, 找到P{(X1,...Xn)€W} = α
  • 给出的样本数据, 由样本值(x1,...xn)求出统计量T的值.
    • (x1,..,xn)€W→拒绝H0
    • (x1,..,xn)€W'→接受H0

两类错误:

• 第一类错误: 弃真
  • P{拒绝H0|H0为真} = α
• 第二类错误: 纳伪(取伪)
  • P{接受H0|H0伪假} = β

决策	H0为真	H0为假
接受H0	正确决策(1-α)	纳伪(β)
拒绝H0	弃真(α)	正确决策(1-β)

一个正太总体的参数假设检验

• σ²=σ₀², 检验μ=μ₀, →U检验
• X~N(μ, σ²), (X1,X2,...,Xn)取自X的样本, 检验率:α, σ²=σ₀²已知, 检验H₀: μ=μ₀
  • 第一步: H₀: μ=μ₀, H₁: μ≠μ₀
  • 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ₀, σ₀²)→取统计量U = (X'-μ₀)/(σ₀/n^½) ~ N(0,1)
  • 第三部: 给定义, 由P{|U|>U_α/2}=α→U_α/2
    • 拒绝域: W = {(x1,...,xn)| |U|>U_α/2}
    • 接受域: W' = {(x1,...,xn)| |U|<U_α/2}
  • 第四步:计算U的值|U|与U_α/2比较
• σ2未知, 检验μ=μ₀, T检验法
  
  • 第一步: H₀: μ=μ₀, H1: μ≠μ₀
  • 第二步: 假定H₀成立, 取T = (X'-μ₀)/(S/n^½) ~ t(n-1)
    • 拒绝域: W = {(x1,...xn| |t|>t_α/2(n-1))}
  • 第四步: 计算T的值 将|t|与t_α/2(n-1)比较

检验法	假设	检验法计算及分布	拒绝域W
U检验法 σ2=σ02	H0:μ=μ0, H1: μ=μ0	u= (X'-μ0)/(σ0/n½) ~ N(0,1)	|U|>Uα/2
	H0: μ≤μ0, H: μ>μ0		U>Uα
	H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0		U<-Uα
T检验法, σ2未知	H0:μ=μ0, H1: μ=μ0	T =(X'-μ0)/(S/n½) ~ t(n-1)	|t| > t(α/2)(n-1)
	H0: μ≤μ0, H: μ>μ0		t > tα(n-1)
	H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0		t<tα(n-1)

σ²的假设检验:

• 当μ已知, σ2=σ02步骤:
  • 第一步: H₀: σ²=σ₀², H₁:σ²≠σ₀²
  • 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ₀,σ₀²), x1,...,xn是样本, 取统计量X² (卡方分布)= [Σ(X_i-μ₀)²]/σ₀² ~ X²(n)  →卡方分布
  • 第三步: 给定α, 由P{X²>X²_α/2(n)}=P{X²<X²_1-α/2(n)} = α/2
  • 第四步: 计算X²的值, 比较
当μ未知, 步骤:
• 第一步: H0: σ²=σ₀², H₁:σ²≠σ₀²
• 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0,σ₀²), x1,...,xn是样本, 取统计量X² (卡方分布)= [Σ(X_i-X'(均值))²]/σ₀² ~ X²(n-1)  →卡方分布
• 第三步: 给定α, 由P{X²>X²_α/2(n-1)}=P{X²<X²_1-α/2(n-1)} = α/2
• 第四步: 计算X²的值, 比较

检验法	假设	统计量及分布	拒绝域W
X2检验(卡方分布) (μ=μ0已知)	H0: σ2=σ02, H1: σ2≠σ02	X2 = [Σ(Xi-μ0)2]/σ02 ~ X2(n)	X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n)
	H0: σ2≤σ02, H1: σ2>σ02		X2>Xα2(n)
	H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02		X2<X1-α2 (n)
X2检验(卡方分布) (μ=μ0未知)	H0: σ2=σ02, H1: σ2≠σ02	X2 = [(n-1)S2]/σ02 ~ X2((n-1) X2 = Σ(Xi-X')2/σ02	X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n-1)
	H0: σ2≤σ02, H1: σ2>σ02		X2>Xα2(n-1)
	H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02		X2<X1-α2 (n-1)

两个正太总体的参数假设检验

• 两个正态总体均值差异性检验
  • 步骤
    • 当σ12, σ22已知, 检验H0:μ1=μ2
    • 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
    • 第二步: 假定H0成立, 取U = (X'-Y')/(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) ~ N(0,1)
    • 第三步: 给定α, 由P{|U|>U_α/2} = α, U_α/2→W={(x1,...xn)| |U|>U_α/2}, {(y1,...,yn)| |U|>U_α/2}
    • 第四步: 计算 |U| |U|与U_α/2比较
• 方差σ₁², σ₂²的差异性检验
  • 步骤:
    • 当σ12, σ22已知, 检验H0:μ1=μ2
    • 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
    • 第二步: 假定H0成立, 取T = (X'-Y')/{[(n1-1)S₁²+(n2-1)S₂²]/(n1+n2-2)}^½· (1/n₁+1/n₂)^½
    • 给定α, 由P{|T|>t_α/2} = α, t_α/2→W={(x1,...xn)| |t|>t_α/2}, {(y1,...,yn)| |t|>t_α/2}
    • 计算 |T| |T|与t_α/2比较

检验法	假设	统计量及分布	拒绝域W
U检验 (σ12,σ22已知)	H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2	U = (X'-Y')/(σ12/n1+σ22/n2)½ ~ N(0,1)	|U|>Uα/2
	H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2		U>Uα
	H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2		U<-Uα
T检验 (σ12=σ22=σ2未知)	H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2	T = (X'-Y')/{[(n1-1)S12+(n2-1)S22]/(n1+n2-2)}½(1/n1+1/n2-2)½	|t|>tα/2(n1+n2-2)
	H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2		t>tα(n1+n2-2)
	H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2		t<-tα(n1+n2-2)

总体方差σ₁², σ₂²的差异性检验

• μ1, μ2都未知, 检验H0: σ₁²=σ₂²
• 第一步: 提出H0: σ₁²=σ₂², H1: σ₁²≠σ₂²
• 第二步: 假定H0成立, 取F = S₁²/S₂² ~ F(n₁-1, n₂-1)
• 第三步: 给定义 由P{F>F_α/2} = P{F<F_1-α/2} = α/2, W = {(x1,...,xn)|f>f_α/2(n₁-1,n₂-1)}或f<f_1-α/2(n₁-1, n₂-1)
• 第四步: 计算F的值与f_α/2比较