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The Most Important Things: ljc chat with fyh on QQ
Ta说期末考Ta数学74分感觉不好
但是我觉得fyh是地表最强的鸭~~(of course encourge her)
About Today's Training: 玄学错误,没有开longlong+没有算好空间(还不如暴力) 还是得继续加油. 本来以为今天是AK局来着呢.. */
Problem A password
求$sumlimits _{i=1} ^n i^2 2^i$ 的值，对于100%的数据$nleq 10^9$
公式题，考虑答案$sumlimits _{i=1} ^n i^2 2^i = (n^2 - 2n+3)2^{n+1}-6$
其实就两次数列错位相减就行了。
$S_n = 1 imes 2+4 imes 2^2 + 9 imes 2^3 + ... + n^2 2^n$
那么$2S_n=1 imes 2^2 + 4 imes 2^3 + 9 imes 2^4 + ... + n^2 2^{n+1}$
相减,$S_n = 2S_n-S_n= n^22^{n+1}-(1 imes 2+ 3 imes 2^2 + ... + (2n-1) imes 2^n)= n^22^{n+1}-T_n $
其中$T_n = 1 imes 2 + 3 imes 2^2 + ... + (2n-3) imes 2^{n-1} + (2n-1) imes 2^n $
那么$2T_n = 1 imes 2^2 + 3 imes 2^3 + ... + (2n-3) imes 2^{n} + (2n-1) imes 2^{n+1} $
相减,$T_n=2T_n-T_n = (2n-1)2^{n+1}-2-2-2(2^2+2^3+2^4+...+2^n)$
使用等比数列求和公式，得,$T_n = (2n-1)2^{n+1}-2-8 imes (2^{n-1}-1)= (2n-3)2^{n+1} + 6$
带入可知,$S_n= n^2 2^ {n+1}-(2n-3)2^{n+1}-6=(n^2-2n+3)2^{n+1}-6$
然后输出就行，复杂度$O(log_2 n)$
# include<bits/stdc++.h> # define int long long # define pow Pow using namespace std; const int mo=1000000007; int pow(int x,int n) { int ans=1; while (n) { if (n&1) ans=ans*x%mo; x=x*x%mo; n>>=1; } return ans%mo; } signed main() { int n; cin>>n; n=((pow(2,n+1)*(((n*n%mo-2*n%mo+3)+mo)%mo)-6)+mo)%mo; cout<<n; return 0; }
Problem B memory
给出一个含有n个元素的序列a，维护下列三种操作共m个：
1.add x k 给a[x]加上k。
2.ask x y 查询区间[x,y]内所有数的和。
3.goto t 回到第t 次操作之后的状态对于100%的数据n,m<=1e5,空间为8MB
为什么要强调空间呢，就是不让用可持久线段树做。（我就那么做爆0了）
对于每一个操作用二叉树来维护，把每一个时间标号当做一个节点，每一个节点一定是从之前某一个节点"转移"过来
这种转移我们就在树上连边，单向边从过去那个节点连到当前节点。
离线做的时候用BIT维护区间和，同时回溯的时候回退，保证在一个节点的时候BIT中没有当前节点子树的信息。
对于每一个询问在离线dfs中处理。
复杂度$O(n log_2 n)$
# include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+10; char s[10]; int n,m; int head[N],tot,ans[N]; struct edge{int pre,to;}a[N]; struct rec{int id,op,x,y;}q[N]; # define lowbit(x) (x&(-x)) int c[N]; void update(int x,int y){for (x;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y;} int query(int x) {int ret=0; for (;x;x-=lowbit(x)) ret+=c[x];return ret;} #undef lowbit void adde(int u,int v) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; head[u]=tot; } void dfs(int u) { if (q[u].op==3) update(q[u].x,q[u].y); else if (q[u].op==1) ans[u]=query(q[u].y)-query(q[u].x-1); for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) dfs(a[i].to); if (q[u].op==3) update(q[u].x,-q[u].y); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for (int i=1;i<=n;i++) { int t; scanf("%d",&t); update(i,t); } for (int i=1;i<=m;i++) { cin>>s; if (s[1]=='s') { //ask adde(i-1,i); int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); q[i]=(rec) {i,1,x,y}; } else if (s[1]=='o') { //goto int t; scanf("%d",&t); adde(t,i); } else { //add int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); adde(i-1,i); q[i]=(rec) {i,3,x,y}; } } dfs(0); for (int i=1;i<=m;i++) if (q[i].op==1) printf("%d ",ans[i]); return 0; }
Problem C graph
给出n个点的坐标，保证其中至少有$frac{1}{3}$的点在同一直线上，
求出两个点使得一条过这两个点的直线上过了至少$frac{n}{3}$个点
对于100%的数据，$n leq 900000,x_i,y_i leq 10^9$
考虑随机化算法，随机选两个点，跑n个点判断这条直线可不可行，直到可行位置。
对于最差情况只有$frac{n}{3}$符合条件，期望是$1-(1-frac{C_{frac{n}{3}}^2}{C_n^2})^{log_n} $
大概是99.999233084076%
复杂度$O(kn)$
# include<bits/stdc++.h> # define int long long using namespace std; const int N=1e6+10; struct rec{double x,y;}a[N]; int n; inline int read() { int X=0,w=0; char c=0; while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar(); return w?-X:X; } int random(int x){return 1ll*rand()*rand()%x+1;} signed main() { srand(time(NULL)*100007); n=read(); for (int i=1;i<=n;i++) a[i].x=(double)read(),a[i].y=(double)read(); while (true) { int p1=1,p2=1; while (p1==p2) p1=random(n),p2=random(n); int x1=a[p1].x,y1=a[p1].y; int x2=a[p2].x,y2=a[p2].y; double k=(double)(y1-y2)/(double)(x1-x2); double b=(double)y1-(double)k*(double)x1; int cnt=0; for (int i=1;i<=n;i++) if (fabs((double)a[i].x*k+b-(double)a[i].y)<=1e-7) { cnt++; if ((double)cnt/(double)n>=(double)1.0/3.0) { cout<<p1<<' '<<p2<<' '; return 0; } } } return 0; }
Problem D volume
求$sumlimits_{i=1}^{n} sumlimits_{j=1}^{n} |a_i-a_j|$
对于100%的数据$nleq 5 imes 10^5$
排序$O(nlog_2 n)$做法：记得long long （没开long long 见祖宗）
# include<bits/stdc++.h> # define int long long using namespace std; const int N=5e5+10; int a[N],n,ans; inline int read() { int X=0,w=0; char c=0; while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar(); return w?-X:X; } inline void write(int x) { if (x<0) x=-x,putchar('-'); if (x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); } inline void qsort(int l,int r) { if (l==r) return; int t=rand()%(r-l)+l; swap(a[t],a[l]); int v=a[l]; int i=l;int j=r; while (i<j) { while (i<j&&a[j]>v) j--; if (i<j) {a[i]=a[j];i++;} else break; while (i<j&&a[i]<v) i++; if (i<j) {a[j]=a[i];j--;} else break; } a[i]=v; if (l<j) qsort(l,j-1); if (i<r) qsort(i+1,r); } signed main() { n=read(); for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); qsort(1,n); int ret=0; for (int i=1;i<=n;i++) ret+=a[i],ans+=a[i]*i-ret; write(ans<<1); return 0; }