BZOJ1013 [JSOI2008]球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

正解：高斯消元

解题报告：

　　这题简直制杖，居然不忽略行末空格，害得我wa了一发。

　　这题的关键就在于那一步推导。首先每个点到球心的距离相等，显然，在一个n维空间中，只需要n+1个点就可以确定一个球。那我们如何确定球心呢？

　　我们不妨设n维球心的坐标为（x1，x2，x3，...，xn），那么我们可以用第一个点和剩余的n个点建立方程得到距离相等的式子，然后高斯消元即可解出球心坐标。

　　以三维空间为例，令读入的第一个点坐标为(a，b，c)，第二个点为（a1，b1，c1），则第一个方程为(a1-x1)^2+(b1-x2)^2+(c1-x3)^2=(a-x1)^2+(b-x2)^2+(c-x3)^2，同理可得剩下的方程，

　　展开合并后可得2（a1-a）x1+2（b1-b）x2+2（c1-c）x3=a1^2-a^2+b1^2-b^2+c1^2-c^2

 1 //It is made by jump~
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #ifdef WIN32   
14 #define OT "%I64d"
15 #else
16 #define OT "%lld"
17 #endif
18 using namespace std;
19 typedef long long LL;
20 int n;
21 double lin[45];
22 double a[45][45];//高斯消元的方程系数组
23 double x[45];
24 
25 inline int getint()
26 {
27        int w=0,q=0;
28        char c=getchar();
29        while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar();
30        if (c=='-')  q=1, c=getchar();
31        while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar();
32        return q ? -w : w;
33 }
34 
35 inline void gauss(){
36     int t;
37     for(int i=1;i<=n;i++) {
38     t=i;
39     for(int j=i+1;j<=n;j++) if(a[j][i]>a[t][i]) t=j;
40     if(t!=i) for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[t][j],a[i][j]);
41     for(int j=i+1;j<=n;j++) {
42         double ljh=a[i][i]/a[j][i];
43         for(int k=i+1;k<=n+1;k++) a[j][k]=a[i][k]-ljh*a[j][k];
44     }    
45     }
46     for(int i=n;i>=1;i--) {
47     for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][n+1]-=x[j]*a[i][j];
48     x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];//最后解一个一元一次方程组
49     }
50 }
51 
52 inline void work(){
53     n=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&lin[i]);//利用第一个给剩下的n个建立方程，可以得到n个n元一次方程组，然后高斯消元
54     //圆心坐标组为xi，令第一个坐标为(a，b，c)，则 第一个方程为(a1-x1)^2+(b1-x2)^2+(c1-x3)^2=(a-x1)^2+(b-x2)^2+(c-x3)^2，同理可得剩下的方程
55     double tt;
56     for(int i=1;i<=n;i++) {
57     for(int j=1;j<=n;j++) {
58         scanf("%lf",&tt);
59         a[i][j]=2*(tt-lin[j]); 
60         a[i][n+1]+=tt*tt-lin[j]*lin[j];
61     }
62     }
63     gauss();
64     for(int i=1;i<n;i++) printf("%.3lf ",x[i]);
65     printf("%.3lf",x[n]);
66 }
67 
68 int main()
69 {
70   work();
71   return 0;
72 }