BZOJ4028 [HEOI2015]公约数数列

Description

设计一个数据结构. 给定一个正整数数列 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：

1. MODIFY id x: 将 a_{id} 修改为 x.

2. QUERY x: 求最小的整数 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0, a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的异或和，gcd表示最大公约数。

Input

输入数据的第一行包含一个正整数 n.

接下来一行包含 n 个正整数 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}.

之后一行包含一个正整数 q，表示询问的个数。

之后 q 行，每行包含一个询问。格式如题目中所述。

Output

对于每个 QUERY 询问，在单独的一行中输出结果。如果不存在这样的 p，输出 no.

Sample Input

10
1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640
10
MODIFY 7 20321280
QUERY 162343680
QUERY 1832232960000
MODIFY 0 92160
QUERY 1234567
QUERY 3989856000
QUERY 833018560
MODIFY 3 8600
MODIFY 5 5306112
QUERY 148900352

Sample Output

6
0
no
2
8
8

HINT

对于 100% 的数据，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id < n，1 <= x <= 10^9.

正解：分块

解题报告：　　

　　看到数据范围我这种蒟蒻居然第一印象是分块，我真是太弱了。结果一看正解果然是分块，这就非常的优秀了。

　　维护每个块内的gcd、前缀异或和，修改的时候暴力修改块内即可。

　　考虑查询。因为我们要求一个前缀异或和×前缀gcd等于给定值y的最小下标，那么我们考虑做当前块的时候，如果当前gcd与之前所有的gcd（设为lastgcd）的gcd相等，由于前缀gcd一定是不增的。所以相等就意味着这个块的所有前缀gcd和lastgcd的gcd都是lastgcd，当前异或前缀和设为lastxor，存在在第i块中的前j个异或前缀和为X[i][j],则

　　lastgcd × （X[i][j]^lastxor）=y

　　则X[i][j]=(y/lastgcd)^lastxor，右边都是已知的

　　只需在当前块中查找有没有这种元素。

　　原来用的是map，居然TLE了，然后改成数组每次排序就可以了。调试了很久，写错了很多地方。。。

  1 //It is made by jump~
  2 #include <iostream>
  3 #include <cstdlib>
  4 #include <cstring>
  5 #include <cstdio>
  6 #include <cmath>
  7 #include <algorithm>
  8 #include <ctime>
  9 #include <vector>
 10 #include <queue>
 11 #include <map>
 12 #include <set>
 13 #ifdef WIN32   
 14 #define OT "%I64d"
 15 #else
 16 #define OT "%lld"
 17 #endif
 18 using namespace std;
 19 typedef long long LL;
 20 const int MAXN = 100011;
 21 int n,m,kuai,tot;
 22 int belong[MAXN],L[MAXN],R[MAXN];
 23 char ch[10];
 24 LL G[401],X[401][401];//gcd、xor
 25 LL a[MAXN];
 26 
 27 struct node{
 28     LL val;
 29     int x;
 30 }b[MAXN];
 31 
 32 inline int getint()
 33 {
 34     int w=0,q=0;
 35     char c=getchar();
 36     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar();
 37     if (c=='-')  q=1, c=getchar();
 38     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar();
 39     return q ? -w : w;
 40 }
 41 
 42 inline LL getlong()
 43 {
 44     LL w=0,q=0;
 45     char c=getchar();
 46     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar();
 47     if (c=='-')  q=1, c=getchar();
 48     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar();
 49     return q ? -w : w;
 50 }
 51 
 52 inline LL gcd(LL x,LL y){ if(y==0) return x; return gcd(y,x%y); }
 53 inline bool cmp(node q,node qq){ if(q.val==qq.val) return q.x<qq.x; return q.val<qq.val; }
 54 
 55 inline void work(){
 56     n=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint();
 57     kuai=sqrt(n); tot=n/kuai; if(n%kuai) tot++;
 58     for(int i=1;i<=n;i++) {
 59     belong[i]=(i-1)/kuai+1;
 60     if(belong[i]!=belong[i-1]) L[belong[i]]=i;
 61     R[belong[i]]=i;
 62     }
 63     int now;
 64     for(int i=1;i<=n;i++)  {
 65     now=(i-1)%kuai+1; if(now==1) { G[belong[i]]=X[belong[i]][1]=a[i]; continue; }
 66     G[belong[i]]=gcd(G[belong[i]],a[i]);
 67     X[belong[i]][now]=X[belong[i]][now-1]^a[i];
 68     }
 69     for(int i=1;i<=tot;i++) for(int j=1;j<=kuai;j++) b[(i-1)*kuai+j].val=X[i][j],b[(i-1)*kuai+j].x=(i-1)*kuai+j;
 70     for(int i=1;i<=tot;i++) sort(b+L[i],b+R[i]+1,cmp);
 71     m=getint(); int x; LL y;
 72     LL lastgcd,xr,find; int l,r,mid,wei;
 73     while(m--) {
 74     scanf("%s",ch);
 75     if(ch[0]=='M') {
 76         x=getint()+1; y=getlong();
 77         //mp[belong[x]].clear(); 
 78         a[x]=y;   X[belong[x]][1]=G[belong[x]]=a[L[belong[x]]];
 79         for(int i=L[belong[x]]+1;i<=R[belong[x]];i++) G[belong[x]]=gcd(G[belong[x]],a[i]),X[belong[x]][(i-1)%kuai+1]=X[belong[x]][(i-1)%kuai]^a[i];
 80         for(int i=L[belong[x]];i<=R[belong[x]];i++) b[i].val=X[belong[x]][(i-1)%kuai+1],b[i].x=i;
 81         sort(b+L[belong[x]],b+R[belong[x]]+1,cmp);
 82     }else{
 83         y=getlong(); lastgcd=0; xr=0;
 84         bool ok=false;
 85         for(int i=1;i<=tot;i++) {
 86         if(i==1 || gcd(G[i],lastgcd)!=lastgcd) {//暴力做
 87             for(int j=1;j<=kuai;j++) {
 88             lastgcd=gcd(lastgcd,a[j+(i-1)*kuai]);
 89             xr^=a[j+(i-1)*kuai];
 90             if(xr*lastgcd==y) { printf("%d
",(i-1)*kuai+j-1); ok=true; break; }
 91             }
 92             if(ok) break;
 93         }
 94         else{//可以利用性质直接查找
 95             LL search=y/lastgcd; 
 96             if(y%lastgcd==0)  {
 97             find=search^xr; 
 98             l=L[i],r=R[i]; wei=0;
 99             while(l<=r) { mid=(l+r)/2; if(b[mid].val>=find) wei=mid,r=mid-1; else l=mid+1; }
100             if(b[wei].val==find)  {  printf("%d
",b[wei].x-1); ok=true; }            
101             }
102             xr^=X[i][kuai]; lastgcd=gcd(lastgcd,G[i]);
103         }
104         if(ok)  break;         
105         }
106         if(!ok) printf("no
");
107     }
108     }
109 }
110 
111 int main()
112 {
113     work();
114     return 0;
115 }