BZOJ2115 [Wc2011] Xor

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本文作者：ljh2000
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Description

Input

第一行包含两个整数N和 M，表示该无向图中点的数目与边的数目。接下来M 行描述 M 条边，每行三个整数Si，Ti ，Di，表示 Si 与Ti之间存在一条权值为 Di的无向边。图中可能有重边或自环。

Output

仅包含一个整数，表示最大的XOR和（十进制结果）,注意输出后加换行回车。

Sample Input

5 7
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2

Sample Output

HINT

正解：dfs+线性基

解题报告：

　　继续刷线性基...

　　这道题要求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。那么在图上作图尝试之后就会发现，路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现，来回走是没有任何意义的，因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大，所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径，把这条路径上的xor和作为ans初值（先不管为什么可行），然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然，我们需要预处理出图上所有的环，并处理出所有环的环上xor值，这当然是dfs寻找，到n的路径的时候顺便求一下就可以了。

　　当我们得到了若干个环的xor值之后，因为是要求xor最大值，我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后，再用ans在线性基上取max就可以了。

　　现在我们来讨论上述做法的可行性。

　　第一种情况：我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远，这样的话，因为至少可以保证1可以到达这个环，那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回，这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效，但是环上的xor值被我们得到了，所以我们并不关心这个环和主路径的关系，我们只关心环的权值。

　　第二种情况：我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n，那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环，也就会被纳入线性基中，也会被计算贡献，假如这个环会被经过，那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径，抵消之后走了一次这个最优路径，所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值，都可以通过与更优情况构成环，然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。

　　这样我们就可以完美解决了。我第一次WA了一发，因为我没有考虑到ans初值不为0，在线性基上取到xor的max的时候，不能单纯以ans这一位是否为0来决定是否异或上基的这一位，必须要看异或之后取一个max做一个判断才行。

 1 //It is made by jump~
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 const int MAXN = 50011;
16 const int MAXM = 200011;
17 int n,m,ecnt;
18 int first[MAXN],next[MAXM],to[MAXM];
19 LL w[MAXM],dx[MAXN];
20 bool vis[MAXN];
21 int cnt;
22 LL circle[MAXM],ans;//经过每个环可获得的的权值
23 LL p[63];
24 
25 inline int getint(){int w=0,q=0;char c=getchar();while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar();if(c=='-')q=1,c=getchar();while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;}
26 inline LL getlong(){LL w=0,q=0;char c=getchar();while((c<'0' || c>'9')&&c!='-')c=getchar();if(c=='-') q=1,c=getchar();while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;}
27 
28 inline void dfs(int x){
29     vis[x]=1;
30     for(int i=first[x];i;i=next[i]) {
31     int v=to[i]; 
32     if(!vis[v]) dx[v]=dx[x]^w[i],dfs(v);
33     else circle[++cnt]=dx[v]^dx[x]^w[i];
34     }
35 }
36 
37 inline void work(){
38     n=getint(); m=getint(); int x,y; LL z;
39     for(int i=1;i<=m;i++) {
40     x=getint(); y=getint(); z=getlong();
41     next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; w[ecnt]=z;
42     next[++ecnt]=first[y]; first[y]=ecnt; to[ecnt]=x; w[ecnt]=z;
43     }
44     dfs(1);
45     ans=dx[n];//任取一条从1到n的路径，并得到其xor和
46     for(int i=1;i<=cnt;i++)//构造线性基
47     for(int j=62;j>=0;j--) {
48         if(!(circle[i]>>j)) continue;
49         if(!p[j]) { p[j]=circle[i]; break; }
50         circle[i]^=p[j];
51     }
52     //for(int i=62;i>=0;i--) if(!(ans>>i)) ans^=p[i];
53     //ans有初值，不能直接根据这一位是否为0来判断是否更大，max更为稳妥
54     for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//从线性基中得到最大值
55     printf("%lld",ans);
56 }
57 
58 int main()
59 {
60   work();
61   return 0;
62 }