[SDOI2011]消防

[SDOI2011]消防

题目来源

题目描述
某个国家有n个城市，这n个城市中任意两个都连通且有唯一一条路径，每条连通两个城市的道路的长度为zi(zi<=1000)。
这个国家的人对火焰有超越宇宙的热情，所以这个国家最兴旺的行业是消防业。由于政府对国民的热情忍无可忍（大量的消防经费开销）可是却又无可奈何总统竞选的国民支持率），所以只能想尽方法提高消防能力。现在这个国家的经费足以在一条边长度和不超过s的路径（两端都是城市建立消防枢纽，为了尽量提高枢纽的利用率，要求其他所有城市到这条路径的距离的最大值最小。
你受命监管这个项目，你当然需要知道应该把枢纽建立在什么位置上。
输入输出格式
输入格式：
输入包含n行：
第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为城市的个数，s为路径长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。
从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。
输出格式：
输出包含一个非负整数，即所有城市到选择的路径的最大值，当然这个最大值必须是所有方案中最小的。
【数据规模和约定】
对于20%的数据，n<=300。
对于50%的数据，n<=3000。
对于100%的数据，n<=300000，边长小等于1000。

样例我就不给了

思路

因为离树上任意一点最远的点一定是直径的端点，所以我们选择的路径要与直径相交上才会产生最优解，
至于为什么整条路径都在直径上最优，
我们不妨假设现在有一棵树，
将直径上的一个点作为我们要选的路径上的一点，
我们要以这个点为中心扩展出一条路径，
离这个点最远的点一定是直径的端点，当前的最大值就是这个长度。
这时如果我们选的一条边不在直径上，并不会更新这个最大值，
这样即使不能继续在直径上延长，也对答案没有贡献，
于是为了方便处理，我们将整条路径都放在直径上，
但是这些不在直径上的路径的长度不能忽略，需要进行处理，
想通了这些，这道题就很简单了。

解法

首先我们先用两遍bfs求出直径的两个端点，再把整条直径找出来，时间复杂度O(N)
然后对于每个直径上的点我们做一次dfs，求出不经过直径的以这个点源的路径的最大长度，一起取一个最大值，作为答案的最小值，这个步骤看上去是O(N^2)，而实际上我们对于整棵树上的每一个点只会跑一次，于是时间复杂度为O(N)。
最后我们再以之前求得的最大值为左端点，直径的长度为右端点，二分答案，就可以很轻松的得出结果了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+20;
int a[N],to[N*2],nex[N*2],w[N*2],b[N],c[N];
int ll,rr,l,r;
int bfs(int x){
    memset(c,0,sizeof(c));//两遍bfs求出直径的两个端点
    b[1]=x;
    int head=0,tail=1;
    int ans,s=0;
    while(head!=tail){
        head++;
        for(int i=a[b[head]];i;i=nex[i]){
            if(!c[to[i]]&&to[i]!=x){
                int y=to[i];
                tail++;
                c[y]=c[b[head]]+w[i];
                b[tail]=y;
                if(c[y]>s){
                    s=c[y];
                    ans=y;
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}
void dfs(int s1,int s2,int x,int t)//对于每个直径上的点dfs一次，求不经过直径的路径最大长度
{
    l=max(l,t);
    for(int i=a[x];i;i=nex[i])
    {
        if(to[i]!=s1&&to[i]!=s2)
        {
           dfs(x,x,to[i],t+w[i]);
        }
    }
}
void _dfs(int fa,int x,int y,int t,int s)//找出直径并对直径路径长度维护一个前缀和，方便以后处理。
{
    if(x==y)
    {
        b[0]=t;
        b[t]=s;
        r=s;
        return;
    }
    for(int i=a[x];i;i=nex[i])
    {
        if(fa!=to[i])
        {
            _dfs(x,to[i],y,t+1,s+w[i]);
            if(b[0])
            {
                b[t]=s;
                dfs(fa,to[i],x,0);
                return;
            }
        }
    }
}
bool pd(int t,int s)//判断答案是否可行。因为答案的左端点就是不经过直径的最大路径长，所以只需再直径上验证即可。
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=b[0];++i)
    {
        if(b[i]>t)
        break;
    }
    i--;
    for(j=i;j<=b[0];++j)
    {
        if(b[j]-b[i]>s)
        break;
    }
    j--;
    return b[b[0]]-b[j]<=t;
}
int main()
{
    int n,s;
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i=1,t=0;i<n;++i)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);//存边
        nex[++t]=a[x];to[t]=y;w[t]=z;a[x]=t;
        nex[++t]=a[y];to[t]=x;w[t]=z;a[y]=t;
    }
    ll=bfs(1);
    rr=bfs(ll);
    _dfs(0,ll,rr,1,0);
    while(l!=r)//二分答案
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(pd(mid,s))r=mid;
        else　l=mid+1;
    }
    cout<<l;
    return 0;
}