min-max容斥

min-max容斥(包含kth)

用途

对于一个集合S，给出每个元素出现的概率，我们需要求每一个元素都出现至少一次的期望次数,可以使用min-max容斥，也可以求任意(k)个元素出现的期望(kth min-max容斥)。

例题

HDU-4336 Card Collector

这题当然可以状压dp，注意可能随机到本身有的元素的情况即可。时间复杂度(O(2^n*n))，空间复杂度(O(2^n))
但是，用以下方法时空效率都会更高，时间复杂度(O(2^n))，空间复杂度是(O(n))的，并且非常好写。

定义

对于一个集合S，一个元素的大小定义为它首次出现的时间
(min(S))表示这个集合最小的元素。
(max(S))表示这个集合最大的元素。
(P_i)表示(i)号元素出现的概率，(E)则表示期望次数。
显然(P(min(S))=sum_{iin S} P_i),
而(E(min(S))=frac{1}{P(min(S))})(这个很显然，也比较好证明)
然后有一个结论:(E(max(S))=sum_{S'subseteq S} E(min(S'))*(-1)^{|S'|+1})　
而对于这个问题我们要求的就是(E(max(S))),所以暴力搞一下就好。
时间复杂度(O(2^n)),但空间为(O(20)???)
ps:这道题每个元素之间相互独立，如果元素之间不独立但能求出每个子集的(E(min(S'))),也就是至少出现一个元素的期望次数，也能用min-max容斥,例如[HAOI2015]按位或,把每一个二进制位看做一个元素，他们本来不相互独立，但我们可以用FWT求出每个集合的min之后套公式求全集的max

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=21;
double a[N],ans;
int n;
void dfs(int x,double p,int k){
	if(x>n){if(p>=1e-9)ans+=(double)k/p;return;}//注意特判P为0的情况
	dfs(x+1,p,k);
	dfs(x+1,p+a[x],-k);
}
int main(){
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf",&a[i]);
		dfs(1,0,-1);
		printf("%.10lf
",ans);
	}
	return 0;
}

kth min-max容斥

上述公式只能求最大元素出现的期望步数

min-max还可以用来求第(k)大元素(也就是至少出现(n-k+1)个元素)出现的期望步数。

先说结论:(kthmax(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T))

可以发现上面的公式就是这个公式的特殊情况，把(k=1)带入即可。

证明先咕一段时间，以后再补，然而用它做题也不需要证明

给个例题

重返现世

本题将公式套上可得

(ans=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}frac{m}{sum(T)})

其中(sum(T)=sum_{iin T}p_i)

设(f[i][j][x])表示前(i)个数选了(sum(T))为(j),且将(k=x)带入之后前面那一串系数的和。

利用组合数优秀的性质进行转移。

(C_n^m=C_n^{n-m})

(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1})