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  • 某【并不能AC的】模拟题部分解题报告

    题目来源：清北学堂钟皓曦

    D1T3 ： 党

    【问题描述】

    你现在希望组建一支足球队，一支足球队一般来说由11人组成。这11人有四种不同的职业：守门员、后卫、中锋、前锋组成。你在组队的时候必须满足以下规则：

    1. 足球队恰好由11人组成。
    2. 11人中恰好有一名守门员，3-5 名后卫，2-5 名中锋，1-3 名前锋。
    3. 你需要从这11人中选出一名队长。
    4. 你这个足球队的价值是11人的价值之和再加上队长的价值，也就是说队长的价值会被计算两次。
    5. 你这个足球队的花费是11人的花费之和，你的花费之和不能超过给定的上限。

    现在告诉你球员的总数，每个球员的职业、价值、花费，以及花费的上限，你希望在满足要求的情况下，达到以下目标：

    1. 最大化队伍的价值。
    2. 在最大化队伍的价值的情况下，最小化队伍的花费。

    你的任务是输出这三个值：价值、花费、方案数。

    【输入格式】

    第一行一个正整数N，代表可选的球员个数。
    接下来N行，每行描述一个球员的信息。每行开始是一个字符串，可能的字符串有 Goalkeeper、Defender、Midfielder、Forward，分别代表该球员的职业是守门员、后卫、中锋、前锋。接下来两个数V,C，分别代表该球员的价值和花费。
    最后一行一个整数，代表花费的上限。
    数据保证一定存在一种解。

    【输出格式】

    一行三个整数，分表代表最大价值、最小花费和方案数。如果方案数超过了109，则直接输出109。

    【样例输入】

    15 
Defender 23 45 
Midfielder 178 85 
Goalkeeper 57 50 
Goalkeeper 57 50 
Defender 0 45 
Forward 6 60 
Midfielder 20 50 
Goalkeeper 0 50 
Midfielder 64 65 
Midfielder 109 70 
Forward 211 100 
Defender 0 40 
Defender 29 45 
Midfielder 57 60 
Defender 52 45 
600

    【样例输出】

    716 600 2

    【样例解释】

    选择所有的五名后卫，选择价值为178,20,64,109的中锋和价值为6的前锋，两名守门员任意选择。选择价值为178的中锋作为队长。

    【数据规模与约定】

    • 对于30%的数据，N≤20。
    • 对于60%的数据，费用上限足够大。
    • 对于100%的数据，1≤N≤500，所有球员的价值和花费以及花费上限均在[0,1000]。

    问题分析

    其实题目描述和数据不符。对于100%的数据，费用上限都不必考虑。以下算法均按此前提。

    首先，可以枚举阵容的所有可能人数分配，对于每种位置，注定要选择价值最大，花费最小的前几个人。所以对于不同种类的球员，分别按照价值降序，花费升序排序后直接取前若干人即可。然后问题只剩下了种类。不难发现，某一阵容要做等价替换，只可能替换当前阵容中价值最小，花费最大的人。记与价值最小，花费最大的人相同的人共有n人，其中需要选择m人，则该阵容的方案总数为：

    C(n,m)

    只需要注意把总价值-花费相同的所有阵容统计在一起即可AC。

    弱渣代码

    #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct player {
    int val, cost;
    friend bool operator < (player a, player b) {
        if (a.val == b.val)
            return a.cost < b.cost;
        return a.val > b.val;
    }
    friend bool operator == (player a, player b) {
        return a.val == b.val && a.cost == b.cost;
    }
}G[505], D[505], M[505], F[505]; 

int g = 0, d = 0, m = 0, f = 0;
int n;
string str;
int val = -1, cost = 10000000;
long long num = 0;

inline long long C(int n, int m)
{
    long long ans = 1;
    for (register int i = n; i >= n-m+1; i--)
        ans *= i;
    for (register int i = m; i; i--)
        ans /= i;
    return ans;
}

inline long long ways(player pl[], int stp, int endp)
{
    int bef = 0, aft = 0;
    for (int i = stp; i; i--)
        if (pl[i] == pl[stp])
            bef++;
        else 
            break;
    for (int i = stp; i <= endp; i++)
        if (pl[i] == pl[stp])
            aft++;
        else
            break;
    return C(bef+aft-1, bef);
}

void sch(int gn, int dn, int mn, int fn)
{
    int maxp1, maxp2, maxp3, maxp4;
    int minc1, minc2, minc3, minc4;
    maxp1 = maxp2 = maxp3 = maxp4 = 
    minc1 = minc2 = minc3 = minc4 = 0;
    for (int i = 1; i <= gn; i++) 
        maxp1 += G[i].val, minc1 += G[i].cost;
    for (int i = 1; i <= dn; i++) 
        maxp2 += D[i].val, minc2 += D[i].cost;
    for (int i = 1; i <= mn; i++) 
        maxp3 += M[i].val, minc3 += M[i].cost;
    for (int i = 1; i <= fn; i++) 
        maxp4 += F[i].val, minc4 += F[i].cost;
    int totp = maxp1+maxp2+maxp3+maxp4, totc = minc1+minc2+minc3+minc4;
    totp += max(D[1].val, max(G[1].val, max(M[1].val, F[1].val)));
    if (val < totp || (val == totp && cost > totc)) {
        val = totp;
        cost = totc;
        num = ways(G, gn, g)*ways(D, dn, d)*ways(M, mn, m)*ways(F, fn, f);
    } else if (val == totp && cost == totc) {
        num += ways(G, gn, g)*ways(D, dn, d)*ways(M, mn, m)*ways(F, fn, f);
    }
}

int main()
{
    freopen("wosa.in", "r", stdin);
    freopen("wosa.out", "w", stdout);
    cin >> n; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a, b;
        cin >> str >> a >> b;
        if (str == "Goalkeeper") 
            G[++g] = {a, b};
        if (str == "Defender")
            D[++d] = {a, b};
        if (str == "Midfielder")
            M[++m] = {a, b};
        if (str == "Forward")
            F[++f] = {a, b};
    }
    sort(G+1, G+g+1);
    sort(D+1, D+d+1);
    sort(M+1, M+m+1);
    sort(F+1, F+f+1);
    for (int i = 3; i <= min(d, 5); i++)
        for (int j = 2; j <= min(5, m); j++)
            for (int k = 1; k <= min(3, f); k++)
                if (i+j+k == 10) 
                    sch(1, i, j, k);
    cout << val << " " << cost << " " << min(num, 1000000000ll) << endl;
    return 0;
}

    D2T3 ： 三部曲

    【问题描述】

    因为外来的入侵，国王决定在某些城市加派士兵。所有城市初始士兵数量为 0。当城市 i 被加派了 k 名士兵时。城市i的所有子城市需要被加派 k+1 名士兵。这些子城市的所有子城市需要被加派 k+2 名士兵。以此类推。 当然，加派士兵的同时，国王也需要不断了解当前的情况。于是他随时可能询问以城市 i 为根的子树中的所有城市共被加派了多少士兵。 你现在是国王的军事大臣，你能回答出国王的每个询问么？

    【输入格式】

    第一行，包含两个整数 N , P 代表城市数量以及国王的命令的数量。 第二行 N − 1 个整数，表示2 - N 号每个节点的父亲节点。 接下来的P行，每行代表国王的一个命令，命令分两种: A X K 在城市X加入K个士兵；Q X 询问以城市X为根的子树中所有士兵数量的和。

    【输出格式】

    对于每个Q，输出答案。

    【样例输入】

    7 10 
1 1 2 2 5 5 
Q 1 
A 2 1 
Q 1 
Q 2 
Q 5 
A 5 0 
Q 5 
A 3 1 
Q 1 
Q 2

    【样例输出】 

    0 
11 
11 
8 
10
14 
13

    【样例解释】

    无。

    【数据规模与约定】

    • 对于50%的数据，1≤N≤1000,1≤P≤300。
    • 对于100%的数据，1≤N≤50000,1≤P≤1000001≤X≤N,0≤K≤1000。
    • 事实上，还应该补充一个条件：对于90%的数据，保证是随机生成的。笔者注。

    分析

    问题的第一步：已知某一结点的命令，求这一节点及孩子兵力变化的总量。记节点nd的孩子数和所有孩子距离nd的深度和分别为son[nd],sigma[nd]，不难发现，一次命令(nd,num)造成兵力的增加总量为：

    ΔArmy=son[nd]×num+sigma[nd](∗)

    而这两个数组都可以在预处理时方便的求得：

    void dfs(int nd)
{
        son[nd] = 1;
        for (int i = head[nd]; i; i = edge[i].next) {
                dfs(edge[i].to);
                son[nd] += son[edge[i].to];
                sigma[nd] += sigma[edge[i].to]+son[edge[i].to];
        }
}

    第二步优化复杂度：显然，朴素的O(NP)做法只能拿到50分，对于更大的数据就无能为力了。思考题目：一个明显的提示是当前城市k，子城市k+1，子城市的子城市k+2……，这个下推的过程显然是导致时间复杂度偏大的重要原因。什么能避免下推耗时呢？不难想到Lazy Tag思想。所谓Lazy Tag，就是当一个数据结构存在两种操作：Modify和Query时，如果Modify的复杂度较大，且Modify操作对于Query结果影响可以快速的确定，就可以使用Lazy Tag来代替直接修改。1

    更进一步解释，就是维护的树的并不是简单的存下当前节点的兵力，而是维护三个值：Army[i],TagArmy[i],TagTime[i]分别表示当前节点及子节点的已调动的兵力，当前结点标记的未执行命令，和当前节点标记的未执行命令的次数。形象一点说，就是国王的军队并不负责，只在国王检查时调动兵力，且只调动国王要检查的兵力（大概和我等写作业有异曲同工之妙），这样就节省了大量的时间。

    具体的操作是：

    inline void AddArmy(int nd, int num)
{
        tag_army[nd] += num;
        tag_time[nd]++;
        long long delta = son[nd]*num+sigma[nd];
        // 祖先节点的兵力增加值，见(*)
        for (int k = fa[nd]; k; k = fa[k])
                army[k] += delta;
        // 其祖先节点的兵力增加
} // 只加标记，复杂度为O(h)，h为树高

inline int Query(int nd)
{
        if (nd == 0) return 0;
        // 到达树根（树根的父亲设为0）
        Query(fa[nd]);
        // 递归，要求下传父亲和祖先节点的所有标记
        for (int i = head[nd]; i; i = edge[i].next) {
                int to = edge[i].to;
                tag_army[to] += tag_army[nd] + tag_time[nd];
                tag_time[to] += tag_time[nd];
        }
        // 下传当前结点的标记给所有孩子，注意
        /*
        tag_army[to] += tag_army[nd] + tag_time[nd];
        下传的兵力要加上命令的次数
        */
        if (tag_time[nd] > 0)
                army[nd] += tag_army[nd]*son[nd]+sigma[nd]*tag_time[nd];
        tag_time[nd] = 0;
        tag_army[nd] = 0;
        // 如果当前节点有完成下传的标记，删除之，并记录新的部队总数
        return army[nd];
} // O(h)

    在期望情况下（树是近似平衡的），算法的复杂度为O(PlgN)。但一个问题是特殊数据（链）会导致这种算法超时，即达到O(PN)的最坏复杂度。对此其实有一种利用dfs序建立线段树，用区间修改处理的方法可以AC，Θ(PlgN)。不过显然，这样的方法从思维建立上更“竞赛”，更“优美”一点。

    并不AC的示例代码

    #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fa[50005];
struct p {
        int to, next;
}edge[60005];
int head[50005], top = 0;
void push(int i, int j)
{
        edge[++top].to = j;
        edge[top].next = head[i];
        head[i] = top;
}
long long son[50005], sigma[50005]; //num of son(including himself), sigma of depth
long long tag_army[50005], tag_time[50005]; // lazy tag
long long army[50005];
int N, P;
inline void init()
{
        memset(fa, 0, sizeof fa);
        memset(head, 0, sizeof head);
        memset(son, 0, sizeof son);
        memset(sigma, 0, sizeof sigma);
        memset(tag_army, 0, sizeof tag_army);
        memset(tag_time, 0, sizeof tag_time);
        memset(army, 0, sizeof army);
}

void dfs(int nd)
{
        son[nd] = 1;
        for (int i = head[nd]; i; i = edge[i].next) {
                dfs(edge[i].to);
                son[nd] += son[edge[i].to];
                sigma[nd] += sigma[edge[i].to]+son[edge[i].to];
        }
}

inline void AddArmy(int nd, int num)
{
        tag_army[nd] += num;
        tag_time[nd]++;
        long long delta = son[nd]*num+sigma[nd];
        for (int k = fa[nd]; k; k = fa[k])
                army[k] += delta;
} // just add tag

inline int Query(int nd)
{
        if (nd == 0) return 0;
        Query(fa[nd]);
        for (int i = head[nd]; i; i = edge[i].next) {
                int to = edge[i].to;
                tag_army[to] += tag_army[nd] + tag_time[nd];
                tag_time[to] += tag_time[nd];
        }
        if (tag_time[nd] > 0)
                army[nd] += tag_army[nd]*son[nd]+sigma[nd]*tag_time[nd];
        tag_time[nd] = 0;
        tag_army[nd] = 0;
        return army[nd];
}

int main()
{
        freopen("truetears.in", "r", stdin);
        freopen("truetears.out", "w", stdout);
        init();
        scanf("%d%d", &N, &P);
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
                scanf("%d", &fa[i]);
                push(fa[i], i);
        }
        dfs(1);
        for (int i = 1; i <= P; i++) {
                char cmd;
                int a, b;
                //scanf("%c", &cmd);
                cin >> cmd;
                if (cmd == 'A') {
                        scanf("%d%d", &a, &b);
                        AddArmy(a, b);
                } else {
                        scanf("%d", &a);
                        //cin >> a;
                        printf("%d
", Query(a));
                }
        }
    return 0;
}
    1. 惰性计算百度词条 ↩
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