线性同余方程组

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

上述问题便是一个具体线性同余方程组。所谓线性同余方程组，就是形如：

[left{egin{array}{c} {x equiv a_{1}pmod {m_{1}}} \ {x equiv a_{2}pmod {m_{2}}} \ {vdots} \ {x equiv a_{n}pmod {m_{n}} }end{array} ight. ]

的方程组。

中国剩余定理

中国剩余定理是用于解决线性同余方程组的问题。
要使用中国剩余定理，必须得保证任意两个模数之间互质。

先说结论，上述方程的解为：

[x = sum_{i = 1}^{n}a_iM_ib_i \ ]

其中，(M_i = prod_{j = 1（i eq j）}^{n}m_j)， (b_i)为 (M_i)的逆元。

对于中国剩余定理，我们可以这样理解：

对于方程组中，第 (i)个方程，如果能构造出这样一个解 (x_i)，使得 (x_i equiv a_i pmod {m_i})，而 (x_i equiv 0 pmod {m_j} (i eq j))，那么最终方程组的答案就是 (sum_{i = 1}^{n} x_i)。

那么问题就换成了如何构造这样的一个解 (x_i)。要使得 (x_i)满足第二个条件，那么只需要 (x_i)里含有 (M_i)即可。
然后我们对 (M_i)求逆元 (b_i)，也就是找到一个 (b_i)使其满足：

[M_i b_i equiv 1 pmod {m_i} ]

由于 (M_i)与 (m_i)互质，所以逆元肯定存在。（这也是为什么中国剩余定理要求任意两个模数之间互质的原因）
之后我们两边乘以一个 (a_i)，就会得到：

[a_i M_i b_i equiv a_i pmod {m_i} ]

那么， (x_i = a_i M_i b_i)就是我们所需要构造的解了。

扩展中国剩余定理

当线性同余方程组中，存在两个模数不互质的时候，就要用到扩展中国剩余定理。
我们可以用数学归纳法来证明（理解/构造）扩展中国剩余定理。

首先，对于第一个方程，(x_1 = a_1)显然是第一个方程的解。

然后对于第(k)个方程，定义 (m = { m{lcm}}{m_1, m_2, cdots, m_{k - 1}}), (x_{k - 1})为前 (k - 1)个方程的解。那么对于(x_{k - 1} + tm)肯定也是前 (k - 1)个方程的解（(tm)会被模掉）。那么在求解第 (k)个方程的时候，我们只需要找到一个参数 (t)使得满足 (x_{k - 1} + tm equiv a_k pmod {m_k})。那么

[x_k = x_{k - 1} + tm ]

对于 (x_{k - 1} + tm equiv a_k pmod {m_k})，这显然就是一个线性同余方程，用exgcd即可求解。当这个线性同余方程无解的时候，整个方程组也无解。
也就是：

[gcd{{m, m_k}} mid a_k - x_{k - 1} ]

时，同余方程有解。
整个过程就类似于两两个方程的解不断的合并，直到最后合并剩下最后一个解。

所以，当仅仅是判断方程组有没有解的情况，我们可以判断所有任意两个方程 (i, j)，判断是否满足 (gcd{{m_i, m_j}} mid a_i - a_j)。不满足时，整个方程组无解。