树链剖分（超详细！！！）

一、轻重边剖分的过程

使用两次dfs来实现。剖分过程中要计算如下7个值：

father[x]:x在树中的父亲

size[x]:x的子树结点数(子树大小)

dep[x]:x在树中的深度

son[x]:x的重儿子，即为重边

top[x]:x所在重路径的顶部结点(深度最小)

seg[x]:x在线段树中的位置(下标)

rev[x]:线段树中第x个位置对应的树中结点编号，即rev[seg[x]]=x

第一遍dfs时可以计算前四个值，第二遍dfs可以计算后三个值。而计算seg时，同一条重路径上的点需要按顺序排在连续的一段位置，也就是一段区间。

【代码实现】（预处理1）：

【代码实现】（预处理2）：

二、树上路径处理：

考虑将一条路径(u,v)拆分为若干条重路径：实际上就是寻找最近公共祖先的过程。考虑暴力的做法，我们会选择u,v中深度较大的点向上走一步，直到u=v。

现在有了重路径，由于我们记录了top和seg，因此我们不需要一步步走。假定top[u]和top[v]不同，那么他们的最近公共祖先可能在其中一条的重路径上，也可能在其他的重路径上，因为LCA显然不可能在top深度较大的那条重路径上，所以我们先处理top深度较大的。

首先我们找出u,v中top深度较大的点，假设是u，则我们可以直接跳到father[top[u]]处，且跳过的这一段，在线段树中是一段区间，若我们按照深度从小到大来存储点，则这段区间为：[seg[top[u]],seg[u]] 。 而当u,v的top相同时，说明它们走到了同一条重路径上了，这时它们之间的路径也是序列上的一段区间，且其中深度较小的那点是原路径的LCA。

【代码实现】（建树）：

 

【代码实现】（查询（u，v）路径信息）：

直接上两道模板题吧（最近真的搞得心很累，博客也不想好好写了）

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【例 1】树的统计（单点修改、区间查询）（信息学奥赛一本通 1560）

【题目描述】

一树上有 n 个节点，编号分别为 1到 n，每个节点都有一个权值 w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：

1. CHANGE u t ：把节点 u 权值改为 t；

2. QMAX u v ：询问点 u 到点 v 路径上的节点的最大权值；

3. QSUM u v ：询问点 u 到点 v 路径上的节点的权值和。 注意：从点 u 到点 v 路径上的节点包括 u 和 v 本身。

【输入】

第一行为一个数 n，表示节点个数； 接下来 n−1 行，每行两个整数 a,b，表示节点 a 与节点 b 之间有一条边相连； 接下来 n行，每行一个整数，第 i行的整数 wi表示节点 i 的权值； 接下来一行，为一个整数 q ，表示操作总数； 接下来 q行，每行一个操作，以 CHANGE u t 或 QMAX u v 或 QSUM u v的形式给出。

【输出】

对于每个 QMAX 或 QSUM 的操作，每行输出一个整数表示要求的结果。

【输入样例】

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

【输出样例】

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

 

贴上代码

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「HAOI2015」树上操作（区间修改、区间查询）（信息学奥赛一本通 1561）

【题目描述】

有一棵点数为 N 的树，以点 1 为根且树有点权。然后有 M 个操作，分为三种：

1. 把某个节点 x 的点权增加 a 。

2. 把某个节点 x 为根的子树中所有点的点权都增加 a 。

3. 询问某个节点 x 到根的路径中所有点的点权和。

【输入】

第一行包含两个整数 N,M。表示点数和操作数。 接下来一行 N 个整数，表示树中节点的初始权值。 接下来 N−1 行每行两个正整数 fr,to， 表示该树中存在一条边 (fr,to) 。 再接下来 M 行，每行分别表示一次操作。其中第一个数表示该操作的种类(1−3) ，之后接这个操作的参数（x 或者 x a）。

【输出】

对于每个询问操作，输出该询问的答案。答案之间用换行隔开。

【输入样例】

5 5

1 2 3 4 5

1 2

1 4

2 3

2 5

3 3

1 2 1

3 5

2 1 2

3 3

【输出样例】

6

9

13

 

代码++