【NOI2002】荒岛野人（信息学奥赛一本通 1637）（洛谷 2421）

题目描述

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。

每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。

下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

 

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

输入格式

第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。

第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

输出格式

仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

输入输出样例

输入 #1

3
1 3 4
2 7 3
3 2 1

输出 #1

6

说明/提示

对于50% 的数据：N 的范围是[1…1,000]。

对于另外50% 的数据：N 的范围是[1…100,000]。

对于100% 的数据：C 的范围是[1…1,000,000,000]，N 个整数中每个数的范围是：[0…1,000,000,000]。

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其实这道题的做法还是比较暴力的，以有野人的居住的山洞的最大编号作为初始的山洞数，从这里开始搜索：如果此时的山洞数符合条件就直接输出，否则山洞数加一。至于判断的过程，就是很暴力的枚举任意两个野人。我们假设经过若干年后有两个野人处在了同一个山洞中，设i,j为野人编号，m为此时判断的山洞数，x为经过了多少年。那么就很容易得到

c[i]+x*p[i]≡c[j]+x*p[j](mod m)

稍稍变形得

(p[i]-p[j])*x≡c[j]-c[i](mod m)

那这不就是一个简单的线性同余方程嘛！

接下来就好办多了，用拓展欧几里得算法解出x，若无解（即c[j]-c[i]不是gcd(p[i]-p[j],m)的整数倍），那就说明这个山洞数满足“没有任何两个野人处在同一个山洞中”的条件，继续枚举其他野人；若有解，那还要再分两种情况：

1. 解得的x>min(l[i],l[j])，即此时两个野人至少已经die了一个了，那么活野人和死野人处不处在同一个山洞已经无所谓了，不碍事，继续枚举！

2. 解得的x<=min(l[i],l[j])，那没办法，两个野人都活着，却还处在同一个山洞里，说明这个山洞数不符题意，直接返回false。

然鹅这道题还不能就这样轻易的AC掉，注意：由于p[i]-p[j]有可能为负，所以gcd(p[i]-p[j],m)也有可能为负，那么在拓展欧几里得算法中求解x时，一定要注意将m/(gcd(m,p[i]-p[j]))带上abs()！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=16;
int n,Max;
int c[N],l[N],p[N];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline int max(int a,int b)
{
    return a>b ?a:b;
}
inline int min(int a,int b)
{
    return a<b ?a:b;
}
void print(int x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0) return x;
    else return gcd(y,x%y);
}
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=1;y=0;d=a;}
    else 
    {
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    }
}//拓展欧几里得算法
inline bool judge(int m)
{
    int a,b,C,x,y,d;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            a=p[i]-p[j];b=m;C=c[j]-c[i];
            if(C%gcd(a,b)!=0) continue;//若无解
            exgcd(a,b,d,x,y);
            x=((x*C/d)%(abs(b/d))+abs(b/d))%(abs(b/d));//注意abs()
            if(x<=min(l[i],l[j])) return false;//若不符题意则直接返回false
        }
    }
    return true;//当所有野人都枚举完后再返回true
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        c[i]=read();p[i]=read();l[i]=read();
        Max=max(Max,c[i]);//有野人居住的山洞的最大编号
    }
    for(int i=Max;;i++)
    {
        if(judge(i))
        {
            print(i);
            puts("");
            break;
        }
    }
    return 0;
}