arc089_f ColoringBalls

arc089_f ColoringBalls

https://atcoder.jp/contests/arc089/tasks/arc089_d

有 (n) 个球排成一列,初始所有球均为白色.

有一个长度为 (k) 的操作序列,每个元素为 'r','b',表示选择一个区间(可以为空),然后将区间内的球染为红色或蓝色.

特别的,'b'操作所选择的区间内不能存在白色球.

问依次进行 (k) 次操作后,可能的球的染色结果,答案对 (10^9+7) 取模
(1 le n le 70)

(1 le k le 70)

Tutorial

考虑如何判断一个结果序列是否可能存在.首先简化结果序列的形式.

首先,相邻的相同颜色的球可以合并.然后,对于白色的球分开的若干组,发现有如此的分组方法.

Group1 r: R

Group2 rb: B BR RB RBR

Group3 rb?: BRB RBRB BRBR RBRBR

...

发现可以通过必须的操作序列来将白色球分开的子串分组,所以用组的编号代替每一段,然后按编号从大到小排序,就可以得到一个 (f) 数组,表示结果序列的最简形式.

发现最简形式是一个类似划分数的东西,所以可以通过dfs搜索出所有可能的 (f) 数组,而且可以简单计算出一个 (f) 数组对应的结果序列个数.

现在考虑如何判断 (f) 数组是否合法,可以贪心的考虑

1. 对于 (f) 数组中第 (k) 个元素,将操作序列中第 (k) 个r分配给它,记其位置为 (r_k)
2. 对于 (f) 数组中第 (k) 个元素,若 (f_k>1) ,则将 (r_k) 后第一个未使用的 (b) 分配给它,记其位置为 (b_k)
3. 对于 (f) 数组中第 (k) 个元素,若 (f_k>2) ,则将 (b_k) 后前 (f_k-2) 个未使用元素分配给它

若上述操作可以完成,则 (f) 合法.

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define inver(a) power(a,mod-2)
using namespace std;
template<class T> inline bool Cmax(T &x,T y) {return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1000+5;
const int maxk=70+5;
int n,k;
int an;
int r[maxk],b[maxk];
int fac[maxn];
int inv[maxn];
int num[maxk];
bool vis[maxk];
char s[maxk];
vector<int> a; 
inline int add(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
ll power(ll x,ll y)
{
	ll re=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) re=re*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return re;
}
inline int binom(int x,int y)
{
	return (ll)fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
bool check()
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0,j=1;i<a.size();++i)
	{
		while(j<=k&&s[j]!='r') ++j; if(j>k) return 0;
		r[i]=j,vis[j++]=1;
	}
	for(int i=0,j=1;i<a.size();++i) if(a[i]>=2)
	{
		Cmax(j,r[i]+1);
		while(j<=k&&s[j]!='b') ++j; if(j>k) return 0;
		b[i]=j,vis[j++]=1;
	}
	for(int i=0,j=1;i<a.size();++i) if(a[i]>=3)
	{
		Cmax(j,b[i]+1);
		int T=a[i]-2; while(T--)
		{
			while(j<=k&&vis[j]) ++j; if(j>k) return 0;
			vis[j++]=1;
		}
	}
	return 1;
}
void dfs(int rest,int las)
{
	if(check())
	{
		int v=a.size()+1;
		for(int i=0;i<a.size();++i)
		{
			v+=num[a[i]];
			if(a[i]>1) v+=2;
		}
		int re=(ll)binom(rest+v-1,rest)*fac[a.size()]%mod;
		for(int i=0,j;i<a.size();i=j)
		{
			j=i; while(j<a.size()&&a[j]==a[i]) ++j;
			re=(ll)re*inv[j-i]%mod;
		}
		an=add(an+re);
	}
	for(int i=1;i<=las;++i)
	{
		if(num[i]+1>rest) break;
		a.push_back(i);
		dfs(rest-num[i]-1,i);
		a.pop_back();
	}
}
void init(int n)
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
	}
	inv[n]=inver(fac[n]);
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		inv[i-1]=(ll)inv[i]*i%mod;
	}
}
int sol()
{
	init(1000);
	an=1;
	num[1]=1;
	num[2]=1;
	for(int i=3;i<=70;++i) num[i]=num[i-1]+2;
	for(int i=1;;++i)
	{
		if(num[i]>n) break;
		a.push_back(i);
		dfs(n-num[i],i);
		a.pop_back();
	}
	return an;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	scanf("%s",s+1);
	printf("%d
",sol());
	return 0;
}