模运算的乘法逆元

二元运算符  ‘≡’： 当 a%p = b%p 时，a ≡ b ( mod p )

模运算对于 加法 和 乘法 同样适用，也就是说，如果 a ≡ a` (mod p) 和 b ≡ b` (mod p)，那么

       a + b ≡ a` + b` (mod p)

       a * b ≡ a` * b` (mod p)

对于 除法 却不适用

　　存在  a / b mod p  !=  a` / b` mod p

模乘法逆元：若 a * b ≡ 1 (mod p)，则称 a 为 b 的模乘法逆元(在mod p 的情况下)，或称 b 为 a 的模乘法逆元(在mod p 的情况下)

       假设  a / b ≡ c (mod p)，b * x ≡ 1 (mod p)  

       那么  a * x ≡ c (mod p)

 

• 扩展欧几里得求模乘法逆元

　　现已知 a，b，p 要求 c

      　　 则只要找到 b 的模乘法逆元 x ，使得 b * x ≡ 1 (mod p) 则可求得 c

             　　    b * x ≡ 1 (mod p)

           　　   则 b * x + p * y = 1  

      　　 这样问题就转化为求已知 b，p 求 一元整数组 ( x, y ) 使得 b * x + p * y = 1 ， 可用扩展欧几里得算法

　　　　若得不到一元整数组 ( x, y )，也就是 gcd(b, p) != 1, 则 (在mod p 的情况下) 不存在 b 的模乘法逆元

 

• 费马小定理求模乘法逆元

　　费马小定理：假如 b 是一个整数，p 是一个质数，那么 b^p - b 是 p 的倍数

　　　　b ^ p ≡ b ( mod p)

       　　b * b^p-2 ≡ 1 (mod p)

 

• 递推求 1 - n 求模乘法逆元

　　inv[ i ] 表示 i 的模乘法逆元

　　　　设  k = p % i,  t = ( p - k ) / i

　　 　   则 t * i + k = p

　　　　　t * i + k ≡ 0 ( mod p )

　　　  若 k 不为 0 ，同除以 ( k * i )

　　　　    t * i / ( k * i ) + k / ( k * i ) ≡ 0 ( mod p )

　　　　    t / (  p % i )  + 1 / i ≡ 0 ( mod p )

　　　　　( p - k ) / i * inv[ p % i ] + inv[ i ] ≡ 0 ( mod p )

    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p%i] % p;
    }

　　　因为 k 不为 0，要求 p % i 不为 0

扩展欧几里得算法

　　已知 a 和 b 求一元组 ( x, y ) 使得 a * x + b * y = gcd(a, b)

　　　 a*x + b*y = gcd(a, b)

　　∵  gcd(a, b) = gcd(b, a%b)           ---------  ①

       ∴  b*x` + (a%b)*y` = gcd(a, b)      ---------  ②

      设  t = a / b (下取整)

      则  b*x` + (a-t*b)*y` = gcd(a, b)

            a*y` + b(x`-t*b*y`) = gcd(a, b)

      等式 ① 的一元组为 (x`, y`)，若 a % b = 0 则 x` = 1， y` = 0

　  那么等式 ② 的一元组为 (x = y`, y = x`- t*b*y`)

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int c = a;
    if( b == 0 ) x = 1, y = 0;
    else c = extgcd(b, a%b, y, x), y -= ( a/b ) * x;
    return c;
}