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  • hdu 4549 M斐波那契数列(矩阵高速幂,高速幂降幂)

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549


    f[0] = a^1*b^0%p,f[1] = a^0*b^1%p,f[2] = a^1*b^1%p.....f[n] = a^fib[n-1] * b^fib[n-2]%p。


    这里p是质数,且a,p互素,那么我们求a^b%p,当b非常大时要对b降幂。

    由于a,p互素,那么由费马小定理知a^(p-1)%p = 1。令b = k*(p-1) + b'。a^b%p = a^(k*(p-1)+b')%p = a^(k*(p-1))%p * a^b'%p

    = a^b'%p。

    当中p' = b%(p-1)。

    那么上题的fib[n-1]和fib[n-2]能够经过矩阵高速幂对(p-1)取模,实现降幂以后再用高速幂求得。


    事实上a^b%c较一般的形式是a^(b%phi[c]+phi[c])%c (b>=phi[c]),在c是素数或a与c互素的时候能够简化为a^(b%(c-1))%c。


    纳闷了一中午,结果把fib数列弄错了。f[0] = 0, f[1] = 1,f[n] = f[n-1]+f[n-2](n >= 2)。第0项是0,sad....

    http://www.narutoacm.com/archives/a-pow-b-mod-m/

    对大神表示深深的ym.

    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    #include <map>
    #include <set>
    #include <list>
    #include <stack>
    #include <vector>
    #include <math.h>
    #include <string.h>
    #include <queue>
    #include <string>
    #include <stdlib.h>
    #include <algorithm>
    #define LL long long
    #define _LL __int64
    #define eps 1e-12
    #define PI acos(-1.0)
    #define C 240
    #define S 20
    using namespace std;
    const int maxn = 110;
    const int mod = 1000000007;
    
    struct matrix
    {
    	LL mat[3][3];
    	void init()
    	{
    		memset(mat,0,sizeof(mat));
    		for(int i = 0; i < 2; i++)
    			mat[i][i] = 1;
    	}
    }m;
    
    LL a,b,n;
    
    matrix mul_matrix(matrix x, matrix y)
    {
    	matrix ans;
    	memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
    	for(int i = 0; i < 2; i++)
    	{
    		for(int k = 0; k < 2; k++)
    		{
    			if(x.mat[i][k] == 0) continue;
    			for(int j = 0; j < 2; j++)
    				ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + x.mat[i][k]*y.mat[k][j])%(mod-1);
    		}
    	}
    	return ans;
    }
    
    matrix pow_matrix(matrix m, LL n)
    {
    	matrix ans;
    	ans.init();
    	while(n)
    	{
    		if(n&1)
    			ans = mul_matrix(ans,m);
    		m = mul_matrix(m,m);
    		n >>= 1;
    	}
    	return ans;
    }
    
    LL pow_mod(LL a, LL b)
    {
    	LL res = 1;
    	a = a%mod;
    	while(b)
    	{
    		if(b&1)
    			res = res*a%mod;
    		a = a*a%mod;
    		b >>= 1;
    	}
    	return res;
    }
    
    
    int main()
    {
    
    	while(~scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&n))
    	{
    		m.mat[0][0] = m.mat[0][1] = m.mat[1][0] = 1;
    		m.mat[1][1] = 0;
    		if(n == 0)
    		{
    			printf("%lld
    ",a%mod);
    			continue;
    		}
    		if(n == 1)
    		{
    			printf("%lld
    ",b%mod);
    			continue;
    		}
    		else if(n == 2)
    		{
    			printf("%lld
    ",a*b%mod);
    			continue;
    		}
    		matrix ans = pow_matrix(m,n);
    		LL res = pow_mod(a,ans.mat[1][1]) * pow_mod(b,ans.mat[0][1]) %mod;
    		printf("%lld
    ",res);
    	}
    	return 0;
    }
    


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