算法学习笔记（六） 二叉树和图遍历—深搜 DFS 与广搜 BFS

图的深搜与广搜

复习下二叉树、图的深搜与广搜。

从图的遍历说起。图的遍历方法有两种：深度优先遍历(Depth First Search), 广度优先遍历(Breadth First Search)，其经典应用走迷宫、N皇后、二叉树遍历等。遍历即按某种顺序訪问“图”中全部的节点，顺序分为：

• 深度优先(优先往深处走)，用的数据结构是栈, 主要是递归实现。
• 广度优先(优先走近期的)。用的数据结构是队列。主要是迭代实现。

对于深搜。因为递归往往能够方便的利用系统栈，不须要自己维护栈。所以通常实现比較简单。

而对于广搜。则须要自己维护一个队列，且因为队列大小未知，底层存储的物理结构採用链式存储。

二叉树概念和性质

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

在图论中，二叉树定义是一个连通的无环图。而且每个顶点的度不大于2。二叉树和树有非常多类似之处，但并非树的特殊情形，主要有下面三点主要区别：

1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2。
2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分；
3. 树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数能够为0

树的一些相关概念：

• 结点的度：结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。二叉树就仅仅有 0，1。2 三种情况；
• 叶结点：度为 0 的结点称为叶结点，或者称为终端结点；
• 分枝结点：度不为 0 的结点称为分支结点，一棵树的结点除叶结点外，其余的都是分支结点。
• 结点的层数: 规定树的根结点的层数为 1，其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加 1;
• 树的深度: 树中全部结点的最大层数称为树的深度;
• 路径、路径长度。假设一棵树的一串结点 n(1), n(2),  …, n(k)  有例如以下关系：结点 n(i) 是 n(i+1) 的父结点 (1≤i<k), 就把 n(1),n(2),…,n(k) 称为一条由 n(1) 至 n(k) 的路径。

  这条路径的长度是 k-1;

• 满二叉树: 在一棵二叉树中，假设全部分支结点都存在左子树和右子树，而且全部叶子结点都在同一层上。
• 全然二叉树: 深度为 K 的。有 N 个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与深度为 K 的满二叉树中按层序编号从 1 至 N 的结点一一相应；
• 堆是一种全然二叉树，经常使用的排序算法、Dijkstra 算法、Prim 算法等都经常使用堆优化；
• AVL树：它是最先发明的自平衡二叉查找树, 名字来源于其发明者，AVL 树中不论什么节点的两个子树的高度最大区别为 1, 查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是 O(logn);

二叉树的重要的性质：

• 性质1：在二叉树的第 i 层上至多有 2i-1 个结点 (i≥1);
• 性质2：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点 (k≥1);
• 性质3：对不论什么一棵二叉树，若它含有 n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则：n0 = n2+1;
• 性质4：具有 n 个结点的全然二叉树的深度为 log2n+1;
• 性质5：若对含 n 个结点的全然二叉树从上到下且从左至右(即按层序)进行 1 至 n 的编号。则对全然二叉树中随意一个编号为 i 的结点：
  (1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则。编号为 i/2  的结点为其双亲结点；
  (2) 若 2i>n。则该结点无左孩子。否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点。
  (3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点。否则，编号为 2i+1 的结点为其右孩子结点；

小实验(C 实现)

这里首先用一个数组生成一个全然二叉树(链式存储), 然后深搜用前序遍历，广搜借助自己实现的一个队列(链式存储)来进行。图例如以下所看到的：

代码为：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct Node {
	int data;
	struct Node * left;
	struct Node * right;
} BitNode, *BiTree;

typedef BiTree QElemType;  // 定义队列元素类型

typedef struct QNode {
	QElemType data;   // 存放树节点指针
	struct QNode *next;
} QNode, *QueuePtr;  // 队列节点和节点指针

typedef struct LinkQueue {
	QueuePtr front, rear;
} LinkQueue; // 队列前后指针: 队首。队尾

/* 初始化队列  */
int InitQueue(LinkQueue *Q) {
	QueuePtr s = (QueuePtr) malloc(sizeof(QNode));
	if (!s)	return 0;
	Q->front = s;
	Q->rear = s;
	return 1;
}

/* 入队 */
int EnQueue(LinkQueue *Q, QElemType e) {
	if (e == NULL)	return 0;
	QueuePtr s = (QueuePtr) malloc(sizeof(QNode));
	if (!s) return 0;
	s->data = e;
	s->next = NULL;
	Q->rear->next = s;
	Q->rear = s;
	return 1;
}

/* 出队 */
int DeQueue(LinkQueue *Q, QElemType *e) {
	if (Q->front == Q->rear) {
		return 0;
	} // 首位指针相等。队列空，出队失败
	QueuePtr p;
	p = Q->front->next; // 头结点不放数据，其后继结点作为队首，出队
	*e = p->data;
	Q->front->next = p->next; // 队首指针后移一个节点
	if (Q->rear == p) {
		Q->rear = Q->front;
	} // 尾指针假设指向的是头结点后第一个节点，则令其指向队首指针。 即队列仅仅有一个数据节点的情况
	free(p);
	return 1;
}

/* 利用数组 a 创建二叉树。递归的编写技巧在于设计好函数接口 */
void CreateTree(BiTree *bt, int a[], int len, int index) {
	if (index > len - 1)
		return;
	(*bt) = (BiTree) malloc(sizeof(BitNode));   // 指针变量初始化堆区的内存，c 用 malloc 函数
	(*bt)->data = a[index];
	(*bt)->left = NULL;   //  不能能省略，当其为叶节点时，指针域为 NULL，而且常作为程序推断条件
	(*bt)->right = NULL;
	CreateTree(&((*bt)->left), a, len, 2 * index + 1);
	CreateTree(&((*bt)->right), a, len, 2 * index + 2);
}

/* 前序遍历二叉树 , 属于深度优先遍历 DFS */
void PreOrderTraverse(BiTree bt) {
	if (bt == NULL)
		return;
	printf("%d ", bt->data); // 操作节点数据
	PreOrderTraverse(bt->left);
	PreOrderTraverse(bt->right);
}

/* 按层遍历，即广度优先遍历 BFS */
void BFSTraverse(BiTree bt) {
	LinkQueue *Q = (LinkQueue *) malloc(sizeof(LinkQueue));
	BiTree e;
	InitQueue(Q);
	EnQueue(Q, bt);
	while (Q->front != Q->rear) {
		DeQueue(Q, &e);
		printf("%d ", e->data);
		EnQueue(Q, e->left);
		EnQueue(Q, e->right);
	}
}

int main() {
	int arr[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
	BiTree root;
	CreateTree(&root, arr, sizeof(arr) / sizeof(int), 0);
	printf("PreOrderTraverse: ");
	PreOrderTraverse(root);
	printf("
BFSOrderTravesre: ");
	BFSTraverse(root);
	return 0;
}

/*
程序执行例如以下：
PreOrderTraverse: 0 1 3 4 2 5 6
BFSOrderTravesre: 0 1 2 3 4 5 6
 */

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