神经网络中常用的几种激活函数的理解

1. 什么是激活函数

  在神经网络中，我们经常可以看到对于某一个隐藏层的节点，该节点的激活值计算一般分为两步：
  （1）输入该节点的值为 $ x_1,x_2 $ 时，在进入这个隐藏节点后，会先进行一个线性变换，计算出值 $ z^{[1]} = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b^{[1]} = W^{[1]} x + b^{[1]} $ ，上标 $ 1 $ 表示第 $ 1 $ 层隐藏层。
  （2）再进行一个非线性变换，也就是经过非线性激活函数，计算出该节点的输出值(激活值) $ a^{(1)} = g(z^{(1)}) $ ，其中 $ g(z) $ 为非线性函数。

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2. 常用的激活函数

  在深度学习中，常用的激活函数主要有：sigmoid函数，tanh函数，ReLU函数。下面我们将一一介绍。

2.1 sigmoid函数

  在逻辑回归中我们介绍过sigmoid函数，该函数是将取值为 $ (-infty, +infty) $ 的数映射到 $ (0,1) $ 之间。sigmoid函数的公式以及图形如下：

[g(z) = frac{1}{1+e^{-z}} ]

  对于sigmoid函数的求导推导为：

  sigmoid函数作为非线性激活函数，但是其并不被经常使用，它具有以下几个缺点：
   （1）当 $ z $ 值非常大或者非常小时，通过上图我们可以看到，sigmoid函数的导数 $ g'(z) $ 将接近 $ 0 $ 。这会导致权重 $ W $ 的梯度将接近 $ 0 $ ，使得梯度更新十分缓慢，即梯度消失。下面我们举例来说明一下，假设我们使用如下一个只有一层隐藏层的简单网络：

   对于隐藏层第一个节点进行计算，假设该点实际值为 $ a $ ，激活值为 $ a^{[1]} $ 。于是在这个节点处的代价函数为（以一个样本为例）： $$ J^{[1]}(W) = frac{1}{2} (a^{[1]}-a)^2 $$
   而激活值 $ a^{[1]} $ 的计算过程为：

[z^{[1]} = w_{11}x_1 + w_{12}x_2 + b^{[1]} ]

[a^{[1]} = g(z^{[1]}) ]

   于是对权重 $ w_{11} $ 求梯度为：

[frac{Delta J^{[1]}(W)}{Delta w_{11}} = (a^{[1]} - a) cdot (a^{[1]})' = (a^{[1]} - a) cdot g'(z^{[1]}) cdot x_1 ]

   由于 $ g'(z^{[1]}) =g(z^{[1]})(1-g(z^{[1]})) $ ，当 $ z^{[1]} $ 非常大时，$ g(z^{[1]}) approx 1 ，1-g(z^{[1]}) approx 0 $ 因此， $ g'(z^{[1]}) approx 0 , frac{Delta J^{[1]}(W)}{Delta w_{11}} approx 0 $。当 $ z^{[1]} $ 非常小时，$ g(z^{[1]}) approx 0 $ ，亦同理。（本文只从一个隐藏节点推导，读者可从网络的输出开始，利用反向传播推导）
   （2）函数的输出不是以0为均值，将不便于下层的计算，具体可参考引用1中的课程。
  sigmoid函数可用在网络最后一层，作为输出层进行二分类，尽量不要使用在隐藏层。

2.2 tanh函数

  tanh函数相较于sigmoid函数要常见一些，该函数是将取值为 $ (-infty, +infty) $ 的数映射到 $ (-1,1) $ 之间，其公式与图形为：

[g(z) = frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}} ]

  tanh函数在 $ 0 $ 附近很短一段区域内可看做线性的。由于tanh函数均值为 $ 0 $ ，因此弥补了sigmoid函数均值为 $ 0.5 $ 的缺点。
  对于tanh函数的求导推导为：

  tanh函数的缺点同sigmoid函数的第一个缺点一样，当 $ z $ 很大或很小时，$ g'(z) $ 接近于 $ 0 $ ，会导致梯度很小，权重更新非常缓慢，即梯度消失问题。

2.3 ReLU函数

  ReLU函数又称为修正线性单元（Rectified Linear Unit），是一种分段线性函数，其弥补了sigmoid函数以及tanh函数的梯度消失问题。ReLU函数的公式以及图形如下：

[g(z)= egin{cases} z, & ext {if $z>0$ } \ 0, & ext{if $z<0$} end{cases} ]

  对于ReLU函数的求导为：

[g'(z)= egin{cases} 1, & ext {if $z>0$ } \ 0, & ext{if $z<0$} end{cases} ]

  ReLU函数的优点：
   （1）在输入为正数的时候（对于大多数输入 $ z $ 空间来说），不存在梯度消失问题。
   （2） 计算速度要快很多。ReLU函数只有线性关系，不管是前向传播还是反向传播，都比sigmod和tanh要快很多。（sigmod和tanh要计算指数，计算速度会比较慢）
  ReLU函数的缺点：
   （1）当输入为负时，梯度为0，会产生梯度消失问题。

2.4 Leaky ReLU函数

  这是一种对ReLU函数改进的函数，又称为PReLU函数，但其并不常用。其公式与图形如下：

[g(z)= egin{cases} z, & ext {if $z>0$ } \ az, & ext{if $z<0$} end{cases} ]

  其中 $ a $ 取值在 $ (0,1) $ 之间。
  Leaky ReLU函数的导数为：

[g(z)= egin{cases} 1, & ext {if $z>0$ } \ a, & ext{if $z<0$} end{cases} ]

  Leaky ReLU函数解决了ReLU函数在输入为负的情况下产生的梯度消失问题。

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3. 为什么要用非线性激活函数？

  我们以这样一个例子进行理解。
  假设下图中的隐藏层使用的为线性激活函数（恒等激活函数），也就是说 $ g(z) = z $ 。

  于是我们可以得出：

[z^{[1]} = W^{[1]}x+b^{[1]} ]

[a^{[1]} = g(z^{[1]}) = z^{[1]} ]

[z^{[2]} = W^{[2]} a^{[1]} + b^{[2]} = W^{[2]} (W^{[1]}x+b^{[1]}) + b^{[2]} ]

[a^{[2]} = g(z^{[2]}) = z^{[2]} = W^{[2]} (W^{[1]}x+b^{[1]}) + b^{[2]} = W^{[1]}W^{[2]} x + W^{[2]}b^{[1]} +b^{[2]} ]

[hat{y} = a^{[2]} = W^{[1]}W^{[2]} x + W^{[2]}b^{[1]} +b^{[2]} ]

  可以看出，当激活函数为线性激活函数时，输出 $ hat{y} $ 不过是输入特征 $ x $ 的线性组合（无论多少层），而不使用神经网络也可以构建这样的线性组合。而当激活函数为非线性激活函数时，通过神经网络的不断加深，可以构建出各种有趣的函数。

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引用及参考：
[1] https://mooc.study.163.com/learn/2001281002?tid=2001392029#/learn/content?type=detail&id=2001702017
[2] https://blog.csdn.net/kangyi411/article/details/78969642
[3] https://blog.csdn.net/cherrylvlei/article/details/53149381

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