[哈夫曼树]猜球球

题目描述

六一到了，为了庆祝这个节日，好多商家都推出了很多好玩的小游戏。Tongtong看到了一个猜球球的游戏，有n种除了颜色之外完全相同的球，商家从中拿出来一个球球放到了箱子里，已知第i种颜色的球出现在箱子里的概率为ai。Tongtong可以用下面这种方法来确定箱子中球的颜色：向商家提出猜测：“是第x种颜色的球球或第y种颜色的球球或...........中的一个”，商家会回答你的猜测是正确还是错误的，直到你有百分百的把握确定箱子里的球球，猜测的次数越少，Tongtong能够得到的礼物就更好。为了让Tongtong过一个开开心心的六一，请你找出一种最优的策略，尽可能少的向店主提出猜测来确定球的颜色，输出猜测次数的期望值。
策略“最优”是指：猜测次数的期望最小。当你有百分百的把握确定箱子里的球球颜色种类时，则不需要继续猜测。例如，如果有两种颜色的球球，箱子里放的是第二种颜色的球球，你可以猜测“是第一种颜色的球球”。商家会告诉你“错误”，所以你可以推测“箱子里的球球是第二种颜色的”，并且有百分百的把握，所以你就可以结束猜测而不需要额外的一次猜测。这种询问方式猜测次数为一次（不管你这一次有没有猜对）。

 

输入

第一行输入一个n，表示有n种颜色的球。 n<=2 000
第二行输入n个非负小数a1~an，表示是第i种颜色球球的概率，保证加和起来为1。

 

输出

输出最小期望，保留7位小数。

样例输入

复制样例数据

3
0.5000000000 0.2500000000 0.2500000000

样例输出

1.5000000

提示

最佳策略下：第一次询问“是不是第二种颜色的球球或第三种颜色的球球中的一种”，如果回答“否”则可以知道是第一种颜色的球球，结束询问；如果回答是“是”则询问第二次“是不是第二种颜色的球球”。

思路：询问决策可构成一个二叉决策树；这种询问决策下的询问次数的期望等于∑(每个叶子结点的深度*出现概率)；要使其最小，则构建哈夫曼树。注意概率为0的球不需考虑。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double p[2005];
struct Node{
    double p;
    bool operator <(const Node &b)const{
      return p>b.p;
    }
};
priority_queue<Node> q;

int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
      scanf("%lf",&p[i]);
      if(p[i]!=0) q.push(Node{p[i]});
    }
    double ans=0;
    while(q.size()>=2){
        double p1=q.top().p;q.pop();
        double p2=q.top().p;q.pop();
        ans+=(p1+p2);
        q.push(Node{p1+p2});
    }
    printf("%.7f
",ans);
    return 0;
}