[动态规划]传纸条

题目描述

    小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

    在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。


    还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。 

输入

输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

思路：用dp[i][j][k][l]表示两个人分别从(0,0)通过两条不相交的路径到达(i,j)和(k,l)时的最大权值和，则状态转移方程为dp[i][j][k][l]=max{dp[i-1][j][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l]}+a[i][j]+a[k][l];
需要注意的是，因为始终要保证到达(i,j)(k,l)的两条路径不相交，所以除了要保证(i,j)!=(k,l)外，还始终要保证到达(i,j)的上一个点和到达(k,l)的上一个点不为同一个点。
此外，dp[0][0][0][0]=0;
最终答案为dp[n-1][m][n][m-1]

AC代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int a[55][55];
int dp[55][55][55][55];

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            for(int k=1;k<=n;k++){
                for(int l=1;l<=m;l++){
                    if(i==k&&j==l) continue;
                    dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i-1][j][k-1][l]+a[i][j]+a[k][l]);
                    dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i][j-1][k][l-1]+a[i][j]+a[k][l]);
                    if(i-1!=k||j!=l-1) max(dp[i][j][k][l],dp[i-1][j][k][l-1]+a[i][j]+a[k][l]);
                    if(j-1!=k||i!=l-1) max(dp[i][j][k][l],dp[i][j-1][k-1][l]+a[i][j]+a[k][l]);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d
",dp[n][m-1][n-1][m]);
    return 0;
}