[数论][组合数学]微信群

题目描述

众所周知，一个有着6个人的宿舍可以有7个微信群（^_^，别问我我也不知道为什么），然而事实上这个数字可以更大，因为每3个或者是更多的人都可以组建一个群，所以6个人最多可以组建42个不同的群。
现在，已知一间宿舍有N个人，并且每至少K个人都可以组建一个微信群，那么他们最多可以组建多少个不同的微信群？

输入

一行两个整数N和K，表示宿舍中的人数和最少能够组建微信群的人数

输出

一行一个整数，即最多能组建多少个不同的微信群，由于这个数字很大，请输出对10^9+7求余后的结果

样例输入

6 3

样例输出

42

提示

对于30%的数据，3<=N<=10^3
对于60%的数据，3<=N<=10^6
对于100%的数据，3<=N<=10^9，3<=K<=10^5

思路：要求C(n,k)+C(n,k+1)+...+C(n,n)，转化为求2^n-(C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,k-1))

求组和数有这么几种方式：

1.C(n,m)=n!/(n-m)!/m! (逆元求组合数——n,m不太大，而T又很大时，预处理)

2.C(n,m)=C(n,m-1)*(n-m+1)/m (递推求组合数——n较大m不太大，而T又不大时)

3.C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)(递推求组合数——n,m不太大时，而T又很大时，预处理，不过用处似乎不大？)

组合数的性质有：

1.C(n,m)=C(n,n-m)

2.C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n-1)+C(n,n)=2^n

 

AC代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
using namespace std;

ll n,k;

ll qpow(ll a,ll b){
  ll ret=1;
  while(b){
    if(b&1) ret=(ret*a)%mod;
    a=(a*a)%mod;
    b>>=1;
  }
  return ret;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll ans=qpow(2,n);
    ll sum=1; ll tmp=1;
    for(ll i=1;i<=k-1;i++){
        tmp=tmp*(n-i+1)%mod*qpow(i,mod-2)%mod;
        sum=(sum+tmp)%mod;
    }
    ans=(ans-sum+mod)%mod;//防止出现负数
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}