[动态规划][状压dp]最短Hamilton路径

题目描述

给定一张 n(n≤20) 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入

第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（一个不超过10^7的正整数，记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出

一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

样例输入

4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

样例输出

4

提示

从0到3的Hamilton路径有两条，0-1-2-3和0-2-1-3。前者的长度为2+2+1=5，后者的长度为1+2+1=4

 

思路：用dp[i][j]表示，从起点s到点j，且经过i的二进制表示中值为1的位所对应的点的最短路径；则状态转移方程为：dp[i][j]=min{dp[i^(1<<j)][k]+Map[k][j]}(k=1~n); 其含义就是枚举到达点j之前的前一个点k，取其最短；

AC代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int Map[25][25];
int dp[(1<<20)+5][25];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n-1;i++){
        for(int j=0;j<=n-1;j++){
            scanf("%d",&Map[i][j]);
        }
    }
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[1][0]=0;
    for(int i=1;i<=(1<<n)-1;i++){
        for(int j=0;j<=n-1;j++){
            if((i>>j)&1){//如果i的第j位是1，也就是如果经过点j
                for(int k=0;k<=n-1;k++){
                    if((i>>k)&1){//如果i的第k位是1，也就是如果经过点k
                        dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]+Map[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%d
",dp[(1<<n)-1][n-1]);
    return 0;
}