Numpy入门学习之(二)linalg库----向量范数、矩阵范数、行列式、矩阵逆、幂

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老师课堂总结，请勿转载

Numpy中的核心线性代数工具

numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块，我们可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。

求解矩阵的范数

在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量 的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是 “长度 ” 和 “ 距 离 ”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量 和矩阵的 “大小 ”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。

"范数 "是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维 向量长度概念的一种推广.

向量范数

范数理论的一个小推论告诉我们：ℓ1≥ℓ2≥ℓ∞

矩阵的范数

范数汇总

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矩阵行列式

方阵的逆矩阵

伴随矩阵

逆矩阵运算性质

代码

1.  
   # -*- coding: utf-8 -*-
2.  
   """
3.  
   Created on Sat Jul 29 15:33:39 2017
4.  
    
5.  
   @author: Administrator
6.  
   """
7.  
    
8.  
   import numpy as np
9.  
    
10.  
    print("###########向量范数#########")
11.  
    print("向量为:",[1,5,6,3,-1])
12.  
    print("1范数：",np.linalg.norm([1,5,6,3,-1],ord = 1),"向量元素绝对值之和")
13.  
    print("2范数：",np.linalg.norm([1,5,6,3,-1],ord = 2),"向量元素绝对值的平方和再开方")
14.  
    print("无穷范数:",np.linalg.norm([1,5,6,3,-1],ord = np.inf),"所有向量元素绝对值中的最大值")
15.  
     
16.  
    print("###########矩阵范数#########")
17.  
    a = np.arange(12).reshape(3,4)
18.  
    print("矩阵a为：")
19.  
    print(a)
20.  
    print("F范数",np.linalg.norm(a,ord = 'fro'),"矩阵元素绝对值的平方和再开平方")
21.  
    print("1范数",np.linalg.norm(a,ord = 1),"列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值")
22.  
    print("2范数",np.linalg.norm(a,ord = 2),"谱范数，即ATA矩阵的最大特征值的开平方")
23.  
    print("无穷范数",np.linalg.norm(a,ord = np.inf),"行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值")
24.  
     
25.  
     
26.  
    print("###########行列式#########")
27.  
    a = np.arange(1,17).reshape(4,-1)
28.  
    print("矩阵a为")
29.  
    print(a)
30.  
    print("a的行列式为：",np.linalg.det(a))
31.  
     
32.  
    print("###########逆矩阵np.linalg.inv()#########")
33.  
    a = np.array([[1,-1],[1,1]])
34.  
    b = np.array([[1/2,1/2],[-1/2,1/2]])
35.  
    print("矩阵相乘为单位矩阵E:")
36.  
    print(np.dot(a,b))
37.  
     
38.  
    print("###########伴随矩阵#########")
39.  
    print(a)
40.  
    det_a = np.linalg.det(a)
41.  
    print("a的行列式为：",det_a)
42.  
    inv_a = np.linalg.inv(a)####求a的逆矩阵
43.  
    print("a的逆矩阵为:",inv_a)
44.  
    print("a的伴随矩阵为：")
45.  
    bansui = det_a*inv_a
46.  
    print(bansui)
47.  
    print("验证:",np.dot(bansui,a))
48.  
     
49.  
    print("###########A与A逆行列式#########")
50.  
    a = np.random.rand(5,5)
51.  
    inv_a = np.linalg.inv(a)
52.  
    det_a = np.linalg.det(a)
53.  
    det_inv_a = np.linalg.det(inv_a)
54.  
    print(det_a*det_inv_a)
55.  
     
56.  
    print("###########矩阵的幂matrix_power()#########")
57.  
    a = np.random.rand(3,3)
58.  
    print(a)
59.  
    print(np.linalg.matrix_power(a,2))
60.  
     
61.  
    print("###########求解AXB=C?#########")
62.  
    a = np.array([[1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]])
63.  
    b = np.array([[2,1],[5,3]])
64.  
    c = np.array([[1,3],[2,0],[3,1]])
65.  
    det_a = np.linalg.det(a)
66.  
    det_b = np.linalg.det(b)
67.  
    inv_a = np.linalg.inv(a)
68.  
    inv_b = np.linalg.inv(b)
69.  
    if det_a != 0:
70.  
    if det_b !=0:
71.  
    x = np.dot(np.dot(inv_a,c),inv_b)
72.  
    print(x)

1.  
   ###########向量范数#########
2.  
   向量为: [1, 5, 6, 3, -1]
3.  
   1范数： 16.0 向量元素绝对值之和
4.  
   2范数： 8.48528137424 向量元素绝对值的平方和再开方
5.  
   无穷范数: 6.0 所有向量元素绝对值中的最大值
6.  
   ###########矩阵范数#########
7.  
   矩阵a为：
8.  
   [[ 0 1 2 3]
9.  
   [ 4 5 6 7]
10.  
    [ 8 9 10 11]]
11.  
    F范数 22.4944437584 矩阵元素绝对值的平方和再开平方
12.  
    1范数 21.0 列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
13.  
    2范数 22.4092981633 谱范数，即ATA矩阵的最大特征值的开平方
14.  
    无穷范数 38.0 行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
15.  
    ###########行列式#########
16.  
    矩阵a为
17.  
    [[ 1 2 3 4]
18.  
    [ 5 6 7 8]
19.  
    [ 9 10 11 12]
20.  
    [13 14 15 16]]
21.  
    a的行列式为： 4.73316543133e-30
22.  
    ###########逆矩阵np.linalg.inv()#########
23.  
    矩阵相乘为单位矩阵E:
24.  
    [[ 1. 0.]
25.  
    [ 0. 1.]]
26.  
    ###########伴随矩阵#########
27.  
    [[ 1 -1]
28.  
    [ 1 1]]
29.  
    a的行列式为： 2.0
30.  
    a的逆矩阵为: [[ 0.5 0.5]
31.  
    [-0.5 0.5]]
32.  
    a的伴随矩阵为：
33.  
    [[ 1. 1.]
34.  
    [-1. 1.]]
35.  
    验证: [[ 2. 0.]
36.  
    [ 0. 2.]]
37.  
    ###########A与A逆行列式#########
38.  
    1.0
39.  
    ###########矩阵的幂matrix_power()#########
40.  
    [[ 0.66673632 0.24542188 0.24331174]
41.  
    [ 0.81223569 0.41511886 0.20157493]
42.  
    [ 0.07107783 0.64497704 0.29675985]]
43.  
    [[ 0.66117181 0.42244142 0.28390083]
44.  
    [ 0.89304891 0.50167529 0.34112338]
45.  
    [ 0.59235659 0.47658948 0.23537168]]
46.  
    ###########求解AXB=C?#########
47.  
    [[ -2. 1.]
48.  
    [ 10. -4.]
49.  
    [-10. 4.]]