数论定理篇

真是的，博主本来就菜，又懒得刷题。

只好一边划水，一边从别人的博客上搬代码。

1）素数筛法

2）快速幂，快速乘

快速乘（注意：变乘法为加法）：

LL Kmul(LL a, LL b, LL mo){ //计算a*b%mo 
    LL ret = 0;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret + a) % mo;
        a = (a+a) % mo;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

　　　　//即每次a乘2，b除2

3）欧几里得求gcd，lcm

递归，gcd（a,b）= gcd(b,a%b) = gcd(x,0) = x

　　lcm（a,b）=  a*b/gcd(a,b) = a/gcd(a,b)*b

4）扩展欧几里得

　　解决ax+by=c整数解问题

5）费马-欧拉定理

　　I、欧拉定理

　　　　若n、a互质，a^φ(n) ≡ 1 (mod n)    //同余式

　　II、费马小定理

　　　　若p、a互质，并且p是质数，a^(p-1) ≡1（mod p）

 

　　//循环节

6）逆元inv（解决在除法过程中取模问题）

　　定义：a*inv(a) ≡ 1 (mod m) 

　　根据费马小定理，若m为质数，inv(a)=a^(m-2)   //m尽量取大

　　　　　　　　　　若不是，转换为扩展欧几里得问题

　　O（n）求出2->N的逆元（MOD要为质数）

　　

int init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
}

　　

7）欧拉函数φ(n)或phi(n)

　　phi(n)为1-n中与n互质的数的个数

　　模仿素数埃筛

　　

int phi[N];
void Euler(){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(!phi[i]){
            for(int j = i; j < N; j += i){
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
            }
        }
    }
}

 

8）中国剩余定理

求一个x，模m1余r1，模m2余r2，......

若m1,m2....两两互质，则x有解。

模板代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
LL a[100000], b[100000], m[100000];
LL gcd(LL a, LL b){
    return b  ? gcd(b, a%b) : a;
}
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1  ? (x % p + p) % p : -1;
}
PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) { 
    LL x = 0, m = 1;
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
        if(b % d != 0)  return PLL(0, -1); 
        LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
        x = x + m*t;
        m *= M[i]/d;
    }
    x = (x % m + m ) % m;
    return PLL(x, m);
}
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            a[i] = 1;
            scanf("%d%d", &m[i], &b[i]);  //分别为m，r
        }
        PLL ans = linear(a, b, m, n);
        if(ans.second == -1) printf("-1
");
        else printf("%lld
", ans.first);
    }
}

9）大组合数，卢卡斯定理（p为质数）

　　C(n, m) % p  =  C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p     //递归

10）说到组合，斯特林数，卡特兰数  //数列工具OEIS

　　第二类斯特林数：将有n个元素的集合划分成m个集合（没有空集合），有多少种划分，递推式：

　　

 　　另斯特林公式近似求n！：

　　

　　求n！的位数：   //  (int)lg(n!) + 1 

　　

 

　　卡特兰数：//出栈序列

　　　　其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429,

 

　　

　　　　若n次入栈，m次出栈：C(n+m,n)-C(n+m,m-1)