[IOI2020]装饼干

这题我的方法比较奇怪。

题意：

有(k)种物品，第(i)个物品有(a_i)个，权值为(2^i)。
求有多少个(y)，使得可以选出(x)组物品，每组的和都为(y)。

先考虑如何判定一个(y)是否可行：
从最高位开始，依次求出第i位需要的数目(b_i)。若(y)的第(i)位为1，则(bleftarrow b+x)。
如果(b_i leq a_i)，那么说明(a_i)够用，进入下一位。
如果(b_i>a_i)，则选上所有(a_i)后，还剩(b_i-a_i)个。那么这些(2^i)只能用两倍的(2^{i-1})来凑。因此把(b_{i-1})加上(2 imes (b_i-a_i))。

这样，只要(b_0<a_0)，则说明这个(y)可行。
可以发现，若(b_i leq a_i)，那么对于所有(j<i)，(j)不会受之前的影响。
因此，可以把(b_i leq a_i)作为分界点，进行DP。

设(dp_i)表示使得(b_i leq a_i)的方案数目。只考虑大于等于(i)的位。那么，(dp_0)就是答案。
枚举(j>i)作为前一个分界点。那么，对于所有(i<c<j)，都要求(b_c>a_c)。
再枚举所有的(c)，那么(b_c)就可以很容易地用这个(y)在([c,j-1])这些数位上的值来表示。
于是，对于每个(c)，可以得出一条不等式。把这些不等式联立，就能得到(y)在([i,j))这些数位上的范围(d_{i,j})。
因此，(dp_ileftarrow dp_i+d_{i,j} imes dp_j)。

这样做的复杂度是(O(k^3q))的，可以过。
代码：

#include <stdio.h>
#include <vector>
#include "biscuits.h"
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[70];
ll count_tastiness(ll x, vector<ll> sz) {
    int k = sz.size();
    for (int i = 0; i < 62 - k; i++) sz.push_back(0);
    k = 62;
    for (int i = k; i >= 0; i--) {
        if (i == k) {
            dp[i] = 1;
            continue;
        }
        dp[i] = 0;
        for (int j = i + 1; j <= k; j++) {
            ll zx = 0, zd = (1ll << (j - i)) - 1, h = 0;
            for (int a = j - 1; a >= i; a--) {
                h = h * 2 + sz[a];
                ll z = (h / x + 1) << (a - i);
                if (a > i) {
                    if (z > zx)
                        zx = z;
                } else {
                    if (z - 1 < zd)
                        zd = z - 1;
                }
            }
            if (zx <= zd)
                dp[i] += dp[j] * (zd - zx + 1);
        }
    }
    return dp[0];
}

不难发现，求(d_{i,j})的过程可以优化。提前预处理出(d_{i,j})，就可以(O(k^2))了。

#include <stdio.h>
#include <vector>
#include "biscuits.h"
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[70], zz[70][70], dd[70][70];
ll count_tastiness(ll x, vector<ll> sz) {
    int k = sz.size();
    for (int i = 0; i < 62 - k; i++) sz.push_back(0);
    for (int j = 1; j <= 62; j++) {
        ll zx = 0, h = 0;
        for (int a = j - 1; a >= 0; a--) {
            zz[a][j] = zx;
            h = h * 2 + sz[a];
            ll z = (h / x + 1) << a;
            if (z > zx)
                zx = z;
            dd[a][j] = z;
        }
    }
    for (int i = 62; i >= 0; i--) {
        if (i == 62) {
            dp[i] = 1;
            continue;
        }
        dp[i] = 0;
        for (int j = i + 1; j <= 62; j++) {
            ll zx = (zz[i][j] >> i), zd = (1ll << (j - i));
            if ((dd[i][j] >> i) < zd)
                zd = (dd[i][j] >> i);
            if (zx <= zd)
                dp[i] += dp[j] * (zd - zx);
        }
    }
    return dp[0];
}