Dirichlet卷积

莫比乌斯反演的前置知识

定义

设(f,g)是数论函数，考虑数论函数(h)满足

[h(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}) ]

则称(h)为(f)和(g)的狄利克雷卷积，记作(h=f*g)，这里的(*)表示卷积。

比如(h(6)=f(1)*g(6)+f(2)*g(3)+f(3)*g(2)+f(6)*g(1))

性质

1. 单位函数(epsilon)是狄利克雷卷积的单位元，即对于任意函数(f)，有(epsilon*f=f*epsilon=f)。
2. 狄利克雷卷积满足交换律和结合律。
3. 如果(f,g)都是积性函数，那么(f*g)也是积性函数。

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许多关系都可以用狄利克雷卷积来表示。

下面用(1)来表示取值恒为(1)的常函数，定义幂函数( ext{Id}_{k}(n)=n^k, ext{Id=Id}_1)。

除数函数的定义可以写为：

[sigma_k=1* ext{Id}_k ]

欧拉函数的性质可以写为：

[ ext{Id}=varphi*1 ]

计算狄利克雷卷积

设(f,g)是数论函数，计算(f)和(g)的狄利克雷卷积在(n)处的值需要枚举(n)的所有约数。

如果要计算(f)和(g)的狄利克雷卷积的前(n)项，可以枚举(1)到(n)中每个数的倍数，根据调和数的相关结论，这样做的复杂度是(O(nlog n))。

求函数的逆

狄利克雷卷积有一个性质：对每个(f(1) eq0)的函数(f)，都存在一个函数(g)使得 (fast g=epsilon)

那么我们如何求出一个函数的逆呢？

只需要定义：

[g(n)=frac 1{ f(1)}left([n=1]-sumlimits_{imid n, i eq1} f(i) gleft(frac ni ight) ight) ]

这样的话

[egin{aligned}&quadsum_{imid n} f(i) gleft(frac ni ight)\&= f(1) g(n)+sum_{imid n,i eq1} f(i) gleft(frac ni ight)\&=[n=1]end{aligned} ]

最后一步直接把(g(n))的定义带进去就好

即

[= f(1)*frac{1}{ f(1)}([n = 1] - sumlimits_{i|n,i eq1} f(i) g(frac n i))+ sumlimits_{i|n,i eq1} f(i) g(frac ni) ]

例题

P2303 [SDOI2012]Longge的问题

给定正整数(n)，求

[sum_{i=1}^{n}gcd(i,n),nleq2^{32} ]

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枚举( ext{gcd})：

[egin{align*} sum_{i=1}^{n}gcd(i,n) &= sum_{d|n}dsum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=d] \ &= sum_{d|n}dsum_{i=1}^{frac{n}{d}}[gcd(i,frac{n}{d})=1] \ &= sum_{d|n}dvarphi(frac{n}{d}) end{align*}]

枚举(n)的约数直接求。答案是积性的。

#include <cmath> 
#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;

inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	for ( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1; 
	for ( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
	return x * f;
}

int n, ans;

int euler(int x) {
	int ans = x, rt = sqrt(x);
	for (int i = 2; i <= rt; i++) {
		if (x % i == 0) {
			ans = ans - ans / i;
			while (x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if (x > 1) ans = ans - ans / x;
	return ans;
}

signed main() {
	n = read();
	int x = sqrt(n);
	for (int i = 1; i <= x; i++) {
		if (n % i == 0) {
			ans += euler(n / i) * i;
			if (i * i != n) ans += euler(i) * (n / i);
		}
	}
	cout << ans << '
';
	return 0;
}