主成分分析PCA（Principal Component Analysis）在sklearn中的应用及部分源码分析

最近太忙，又有一段时间没写东西了。

pca是机器学习中一个重要的降维技术，是特征提取的代表。关于pca的实现原理，在此不做过多赘述，相关参考书和各大神牛的博客都已经有各种各样的详细介绍。 如需学习相关数学理论，请移驾。T_T

简单说一下pca的实现，首先对于一个矩阵X，我们计算X·X^T，显然这个一个半正定矩阵，可以做特征值分解，然后取出k个最大的特征值及其对应的特征向量就可以表达整个原矩阵。若X·X^T=p^-1Λp，因为p是单位矩阵，所以p^-1=p^T，即X·X^T=p^-1·Λ^1/2·(p^-1·Λ^1/2)^T，也就是降维的X后用来p^-1·Λ^1/2表示。

其实从SVD的角度来理解也是一样的，若X=UΣV^T，则X·X^T=UΣ²U^T，同样我们用来UΣ来表示原X。

当我看sklearn的文档时，文档并没有具体解释它的方法得到的结果在数学上的表示什么，钻研了半天，看了源码后才知道。

sklearn的方法是通过SVD来实现的。这里着重介绍sklearn的pca类中的一个属性(components_)和两个方法(fit，transform)。

首先，给定一个矩阵，设置参数后，通过调用fit方法得到降维模型，也就是一个基矩阵。我们看一下fit中的部分关键代码。

...
self.mean_ = np.mean(X, axis=0)
X -= self.mean_
U, S, V = linalg.svd(X, full_matrices=False)
U, V = svd_flip(U, V)
components_ = V
...
self.components_ = components_[:n_components]
...

首先做的工作就是对数据进行按列中心化，然后做svd分解，然后把V的前k个向量保存为模型，模型的关键内容就是components_。（看似几百行代码，T_T）

接下来看看transfrom的部分关键源码。

...
X = np.dot(X, self.components_.T)
return X

我只贴这两句，T_T，因为真的只有这两句特别重要。也就是说我们要把一个新矩阵用到训练好的pca模型中时，其实只是做了一次矩阵乘法而已。

怎么来理解作者的做法呢？

其实就是我们上面的提到的，用svd方式来实现pca时，我们实际上用UΣ来表示降维后的数据。综合svd公式，可以看成XV=UΣ，也就是把原矩阵与V做乘法，实际上这里理解为投影，把X投影到V的单位正交基所表示的子空间中去得到X的低维表示。对于一个新的矩阵Y，同样用YV来表示其在V子空间降维后的结果，这也就是为什么transform方法为什么最关键的步骤只有一步乘法了。回过头看，fit训练模型就是要得到V，然后在transform降维时只需要一步乘法就可以了。

我们用下面的代码做个小实验。

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn import preprocessing
from sklearn.utils.extmath import svd_flip
 
svd = np.linalg.svd
 

A = np.random.randint(0,5, (5,3))

print('A=')
print(A)

pca = PCA(n_components=2, svd_solver='full')

# print(A)
model = pca.fit(A)
print('model.components_=')
print(model.components_)
X = model.transform(A)
print('pca(A)=')
print(X)

A = A - np.mean(A, axis=0)
u,s,v = svd(A, full_matrices=False)

print('V=')
print(v[:2])
print('pva_by_svd=')
print(np.dot(A, v[:2].T))

运行得到的结果如下

A=
[[3 1 4]
 [4 1 1]
 [1 2 0]
 [1 4 2]
 [1 3 2]]
model.components_=
[[ 0.70734192 -0.61231721  0.35317848]
 [ 0.19273774 -0.31363722 -0.92977624]]
pca(A)=
[[ 2.21911523 -1.47640531]
 [ 1.86692171  1.50566115]
 [-1.22059974  1.54358693]
 [-1.73887721 -0.94323999]
 [-1.12656    -0.62960277]]
V=
[[-0.70734192  0.61231721 -0.35317848]
 [ 0.19273774 -0.31363722 -0.92977624]]
pva_by_svd=
[[-2.21911523 -1.47640531]
 [-1.86692171  1.50566115]
 [ 1.22059974  1.54358693]
 [ 1.73887721 -0.94323999]
 [ 1.12656    -0.62960277]]

咦，结果跟之前的分析有点小小的差别，通过svd和sklearn的结果对比，V的第一行和降维结果的第一列正负相反了。

多运行几次，这个现象并不一定出现。其实是通过上面svd_flip函数来实现的。

sklearn对奇异分解结果进行了一个处理，因为u_i*σ_i*v_i=(-u_i)*σ_i*(-v_i)，也就是u和v同时取反得到的结果是一样的，而这会导致通过pca降维得到不一样的结果（虽然都是正确的）。为了追求唯一的表示，首先定位u_i向量中绝对值最大的元素位置，如果它为负数，则u_i和v_i取反，否则不变。这部分的源码在这里。