浅谈树状数组

　　还是区间求和区间修改的问题，我们使用线段树解决以后发现编程复杂度比较大

　　在这里介绍一个简单的数据结构，树状数组。

　　树状数组的优势是编程复杂度小，常数小，时间复杂度也不错

　　树状数组的查询，修改，都是LOG（N）级别的

　　

       

         下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律：

         据图可知：c1=a1，c2=a1+a2，c3=a3，c4=a1+a2+a3+a4，c5=a5，c6=a5+a6，c7=a7，c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，c9=a9，c10=a9+a10，c11=a11........c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

         分析上面的几组式子可知，当 i 为奇数时，ci=ai ；当 i 为偶数时，就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂，例如，6 的因子中有 2 的一次幂，等于 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前数两个数的和），4 的因子中有 2 的两次幂，等于 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前数四个数的和）。

        （一）有公式：cn=a(n-a^k+1)+.........+an（其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数）。

         那么，如何求 a^k 呢？求法如下:　　

　　

    function lowbit(x:longint):longint;
        begin
               exit(x and (-x))
        end;     

　　lowbit的返回值就是2^k

答案很简单：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面进行解释：

以i=6为例（注意：a_x表示数字a是x进制表示形式）：

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1))  =(0010)_2

2^k = 2

C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]

　　而我们求和与修改的时候就特别好办了

　　

function lowbit(x:longint):longint;
begin
      exit(x and (-x));
end;

function getsum(pos:longint):longint;
var ans:longint;
begin
    ans:=0;
    while pos>0 do 
        begin
            inc(sum,tree[pos]);
            dec(pos,lowbit(pos));
        end;
    exit(ans);
end;

procedure modify(pos,delta:longint);
begin
    while pos<=n do 
        begin
            inc(tree[pos],delta);
            inc(pos,lowbit(x));
        end;
end;

　　记住，查询区间[l,r]的和时候应该ans:=getsum(r)-getsum(l-1);　

      求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数。　　

　　代码如下：

　　

const maxn=100010;

var val,tree:array [0..maxn] of longint;
    n:longint;

function lowbit(x:longint):longint;
begin
  exit(x and (-x));
end;

function getsum(pos:longint):longint;
var ans:longint;
begin
    ans:=0;
    while pos>0 do 
        begin
            inc(ans,tree[pos]);
            dec(pos,lowbit(pos));
        end;
    exit(ans);
end;

procedure modify(pos,delta:longint);
begin
    while pos<=n do 
        begin
            inc(tree[pos],delta);
            inc(pos,lowbit(pos));
        end;
end;

procedure main;
var i,m,l,r:longint;
begin
    read(n);
    for i:=1 to n do
        begin
            read(val[i]);
            modify(i,val[i]);
        end;
    read(m);
    for i:=1 to m do 
        begin
            read(l,r);
            writeln(getsum(r)-getsum(l-1));
        end;
end;

begin
    main;
end.