NOIP 2016 组合数问题

题目描述

组合数C_n^mCnm​表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

C_n^m=frac{n!}{m!(n - m)!}Cnm​=m!(n−m)!n!​

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足C_i^jCij​是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 2
3 3

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1

输入样例#2： 复制

2 5
4 5
6 7

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0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有C_2^1 = 2C21​=2是2的倍数。

【子任务】

这个题有点难度呢。。。好像暴力分也很多呐，可是我去年为什么打不出来呢233，可能是太弱了吧233。

这个题给了我们一个很有利的条件，k是输入之后就始终不变的，所以我们想到了什么？预！处！理！

我们先根据递推公式C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]，预处理出所有的组合数，因为我们最后只是要求%k==0的个数，所以我们可以直接把组合数在递推的时候先%k，由于k比较小，所以不用long long也行。

处理出来之后，再处理一遍二维前缀和，前缀和的值为组合数%k==0的个数。注意前缀和的边界（我老是卡边界所以就强行对一些不存在的地方也求了一遍前缀和233）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
const int maxn=2000+5;
int read()
{
    int ret=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
    {c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')
    {ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret;
}
int cb[maxn][maxn],sum[maxn][maxn];
int main()
{
    int T,k;
    T=read(),k=read();
    for(int i=0;i<=2001;i++) cb[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=2001;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            cb[i][j]=(cb[i-1][j]+cb[i-1][j-1])%k;
        }
    }
    for(int i=0;i<=2001;i++)
        for(int j=0;j<=2001;j++)
        {
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
            if(!cb[i][j]&&j<=i) sum[i][j]++;
        }
    int n,m;
    while(T--)
    {
        n=read(),m=read();
        printf("%d
",sum[n][m]);
    }
    return 0;
}