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  • BZOJ-2243【SDOI2011】染色&洛谷P2486（线段树区间合并+树链剖分）

    题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2243

    洛谷：

    时间限制1.00s
    内存限制125.00MB
     
    BZOJ：
    Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MB

    Description

    给定一棵有n个节点的无根树和m个操作，操作有2类：
    1、将节点a到节点b路径上所有点都染成颜色c；
    2、询问节点a到节点b路径上的颜色段数量（连续相同颜色被认为是同一段），
    如“112221”由3段组成：“11”、“222”和“1”。
    请你写一个程序依次完成这m个操作。

    Input

    第一行包含2个整数n和m，分别表示节点数和操作数；
    第二行包含n个正整数表示n个节点的初始颜色
    下面 行每行包含两个整数x和y，表示x和y之间有一条无向边。
    下面 行每行描述一个操作：
    “C a b c”表示这是一个染色操作，把节点a到节点b路径上所有点（包括a和b）都染成颜色c；
    “Q a b”表示这是一个询问操作，询问节点a到节点b（包括a和b）路径上的颜色段数量。

    Output

    对于每个询问操作，输出一行答案。

     

    Sample Input

    6 5
    2 2 1 2 1 1
    1 2
    1 3
    2 4
    2 5
    2 6
    Q 3 5
    C 2 1 1
    Q 3 5
    C 5 1 2
    Q 3 5

    Sample Output

    3
    1
    2

    HINT

    数N<=10^5，操作数M<=10^5，所有的颜色C为整数且在[0, 10^9]之间。

    一开始题目看错了。。。纠正姿势后，emmmm，连续段的话，我们应该能想到线段树的区间合并，撇开树状图形来讲，我们应该可以很快写出序列的区间段数程序，就是裸的线段树区间合并。但此题变成了树状图形，所以我们需要用到树剖，但需要值得注意的是，线段树区间合并完之后的区间询问还需要去重，有点麻烦，加入树剖之后节点在向上爬的过程中也会重复，也就是说，我们需要两次去重，一次是线段树询问时候去重，一次是树剖爬的过程中也需要去重。

     记得之前提到过线段树区间合并的操作，我们用lcol和rcol记录节点的最左边的颜色和最右边的颜色，如果左边节点的rcol与右边节点的lcol相等，那么push_up的时候我们就将左右节点的值sum相加后-1：

    inline void push_up(int rt)
{
    tree[rt].sum=tree[ls].sum+tree[rs].sum;
    tree[rt].lc=tree[ls].lc;tree[rt].rc=tree[rs].rc;
    if (tree[ls].rc==tree[rs].lc) tree[rt].sum--;
}

     接下来就是就是修改操作，将一个连续的块全部赋值为x，那么我们直接打标记就好了，然后就是push_down操作，这个也比较简单，如果一个节点存在标记，那么他的左右儿子的sum=1，且col全部染成同一个颜色：

    inline void push_down(int rt)
{
    tree[ls].f=tree[rs].f=1;
    tree[ls].sum=tree[rs].sum=1;
    tree[ls].lc=tree[ls].rc=tree[rt].lc;
    tree[rs].lc=tree[rs].rc=tree[rt].lc;
    tree[rt].f=0;
}

    那么update就很容易写出来了：

    inline void update(int l,int r,int rt,int L,int R,int col)
{
    if (l>=L && r<=R){
        tree[rt].lc=tree[rt].rc=col;
        tree[rt].sum=tree[rt].f=1;
        return;
    }
    if (tree[rt].f) push_down(rt);
    int mid=(l+r)>>1;
    if (mid>=L) update(lson,L,R,col);
    if (mid<R) update(rson,L,R,col);
    push_up(rt);
}

    比较难搞的就是query操作了，这个需要跨区间合并，我们可以这么写，对于一个节点，如果它的左儿子完全不在询问范围内，则往右儿子找，如果右儿子完全不在询问范围，则往左儿子找，否则的话说明左右儿子一定都有一部分在询问区间中，那么我们递归寻找相加后，判断如果左儿子的rcol==右儿子的lcol那么也就是说中间一块是连续的，sum--：

    inline int query(int l,int r,int rt,int L,int R)
{
    if (l>=L && r<=R){
        if (l==L) LC=tree[rt].lc;
        if (r==R) RC=tree[rt].rc;
        return tree[rt].sum;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (tree[rt].f) push_down(rt);
    if (mid>=R) return query(lson,L,R);
    else if (mid<L) return query(rson,L,R);
    int ans=query(lson,L,R)+query(rson,L,R);
    if (tree[ls].rc==tree[rs].lc) ans--;
    return ans;
}

    写完线段树区间合并之后就是裸的跑树剖的过程了，两遍dfs，然后区间修改，区间查询，前三个就不多说了，套个板子就OK了，区间查询爬坡的时候我们还要在一次去重，这个就非常麻烦了。。。。卡了我挺久的。。 

    我们用LC和RC记录每次爬完坡之后的线段树最左边和最右边的颜色，其实也是每次树剖链的最上层和最底层，我们再用s1和s2分别记录两个不同路径的最上层，s1记录当前爬坡路径，s2记录交换路径，如果下一次爬完坡的时候RC==s1，也就是上一次的最上层和本次的最底层颜色一样，那么ans--。

    当两点的top值一样的时候注意这里的写法和一般的树剖不太一样了，top值一样就跳出爬坡过程，在id[l]和id[r]之间query，但在此之前我们需要对l,r的深度进行判断，然后考虑是否交换l和r：

    inline int query_range(int l,int r)
{
    int s=0,s1=-1,s2=-1;
    while (top[l]!=top[r]){
        if (deep[top[l]]<deep[top[r]]) swap(l,r),swap(s1,s2);
        s+=query(1,n,1,id[top[l]],id[l]);
        if (RC==s1) s--;
        s1=LC;
        l=fa[top[l]];
    }
    if (deep[l]<deep[r]) swap(l,r),swap(s1,s2);
    s+=query(1,n,1,id[r],id[l]);//l必须放在后面,l为底层,要和上面保存一致
    if (RC==s1) s--;
    if (LC==s2) s--;
    return s;
}
    这里需要注意的是top值相等跳出来之后，我们爬坡的顺序和之前的应该一样，将l放在底部，这样才能保证s1和s2不出差错！
    接下来又是去重了，RC==s1没什么好说的，之前说过了，但LC==s2是个什么呢？LC是最前端的，s2是交换路径后的最前端，如图所示：

     以下是AC代码：

    #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1

const int mac=1e5+10;

struct Edge
{
    int to,next;
}eg[mac<<1];
struct Tree
{
    int lc,rc,sum,f;
}tree[mac<<2];
int n,top[mac],head[mac],son[mac],dson[mac],tot=0;
int num=0,fa[mac],deep[mac],a[mac],id[mac],w[mac];

inline void add(int u,int v)
{
    eg[++num]=Edge{v,head[u]};
    head[u]=num;
}

inline void dfs1(int x,int f)
{
    son[x]=1;fa[x]=f;
    for (int i=head[x]; i!=-1; i=eg[i].next){
        int v=eg[i].to;
        if (v==f) continue;
        deep[v]=deep[x]+1;
        dfs1(v,x);
        son[x]+=son[v];
        if (son[dson[x]]<son[v]) dson[x]=v;
    }
}

inline void dfs2(int x,int tp)
{
    top[x]=tp,id[x]=++tot,w[tot]=a[x];
    if (!dson[x]) return;
    dfs2(dson[x],tp);
    for (int i=head[x]; i!=-1; i=eg[i].next){
        int v=eg[i].to;
        if (v==dson[x] || v==fa[x]) continue;
        dfs2(v,v);
    }
}

inline void push_up(int rt)
{
    tree[rt].sum=tree[ls].sum+tree[rs].sum;
    tree[rt].lc=tree[ls].lc;tree[rt].rc=tree[rs].rc;
    if (tree[ls].rc==tree[rs].lc) tree[rt].sum--;
}

inline void build(int l,int r,int rt)
{
    if (l==r){
        tree[rt].sum=1;
        tree[rt].lc=tree[rt].rc=w[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lson);build(rson);
    push_up(rt);
}

inline void push_down(int rt)
{
    tree[ls].f=tree[rs].f=1;
    tree[ls].sum=tree[rs].sum=1;
    tree[ls].lc=tree[ls].rc=tree[rt].lc;
    tree[rs].lc=tree[rs].rc=tree[rt].lc;
    tree[rt].f=0;
}

inline void update(int l,int r,int rt,int L,int R,int col)
{
    if (l>=L && r<=R){
        tree[rt].lc=tree[rt].rc=col;
        tree[rt].sum=tree[rt].f=1;
        return;
    }
    if (tree[rt].f) push_down(rt);
    int mid=(l+r)>>1;
    if (mid>=L) update(lson,L,R,col);
    if (mid<R) update(rson,L,R,col);
    push_up(rt);
}

inline void update_range(int l,int r,int col)
{
    while (top[l]!=top[r]){
        if (deep[top[l]]<deep[top[r]]) swap(l,r);
        update(1,n,1,id[top[l]],id[l],col);
        l=fa[top[l]];
    }
    if (deep[l]>deep[r]) swap(l,r);
    update(1,n,1,id[l],id[r],col);
}

int LC,RC;

inline int query(int l,int r,int rt,int L,int R)
{
    if (l>=L && r<=R){
        if (l==L) LC=tree[rt].lc;
        if (r==R) RC=tree[rt].rc;
        return tree[rt].sum;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (tree[rt].f) push_down(rt);
    if (mid>=R) return query(lson,L,R);
    else if (mid<L) return query(rson,L,R);
    int ans=query(lson,L,R)+query(rson,L,R);
    if (tree[ls].rc==tree[rs].lc) ans--;
    return ans;
}

inline int query_range(int l,int r)
{
    int s=0,s1=-1,s2=-1;
    while (top[l]!=top[r]){
        if (deep[top[l]]<deep[top[r]]) swap(l,r),swap(s1,s2);
        s+=query(1,n,1,id[top[l]],id[l]);
        if (RC==s1) s--;
        s1=LC;
        l=fa[top[l]];
    }
    if (deep[l]<deep[r]) swap(l,r),swap(s1,s2);
    s+=query(1,n,1,id[r],id[l]);//l必须放在后面,l为底层,要和上面保存一致
    if (RC==s1) s--;
    if (LC==s2) s--;
    return s;
}

inline void in(int &x)
{
    int f=0;
    char ch=getchar();
    while (ch>'9' || ch<'0') ch=getchar();
    while (ch<='9' && ch>='0') f=(f<<1)+(f<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x=f;
}

inline void debug_dfs()
{
    for (int i=1; i<=n; i++)
        printf ("%d:%d %d %d %d
",i,id[i],deep[i],top[i],w[i]);
}

inline void debug_tree(int l,int r,int rt,int dp)
{
    printf("%d: %d %d %d
", dp,tree[rt].sum,tree[rt].lc,tree[rt].rc);
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    debug_tree(lson,dp+1);debug_tree(rson,dp+1);
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    memset(head,-1,sizeof head);
    int m;
    in(n);in(m);
    for (int i=1; i<=n; i++) in(a[i]);
    for (int i=1; i<n; i++) {
        int u,v;
        in(u);in(v);
        add(u,v);add(v,u);
    }
    dfs1(1,1);dfs2(1,1);
    build(1,n,1);
    //debug_dfs();
    //debug_tree(1,n,1,0);
    for (int i=1; i<=m; i++){
        char s[5];
        int l,r,w;
        scanf ("%s%d%d",s,&l,&r);
        if (s[0]=='C'){
            in(w);
            update_range(l,r,w);
        }
        else {
            int ans=query_range(l,r);
            printf ("%d
",ans);
        }
    }
    return 0;
}
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