逆元inv详细整理

个人笔记，仅供复习

1.概念

1.1 定义：逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。

1.2 数论中定义：如果满足公式，a*b = 1（mod P），则a是b的逆元，同时b也是a的逆元。

1.3 另一种定义：a*x  = 1 (mod P)，其中a与P互质，则称x的最小整数为a关于P的逆元。

2.逆元的应用

2.1 除法模运算：设c为b在对P取模状态下的逆元，在求(a/b)%P时，很可能会因为b过大而超过精度范围，这时候可以将除法转换成乘法来做，（a/b）%P = (a*b)%P = (a%P)*(b%P)%P。

3.求逆元的常用方法

3.1 费马小定理

费马小定理：若p为素数，则有

推论：

故就是a关于P的一个逆元

3.1.1代码实例：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int Mod = 1e5+7;
typedef long long LL;
LL Finv[maxn];
LL Qpow(LL x,LL p,LL m){//快速幂算法 
	LL res = 1;
	while(p){
		if(p&1)	res =res*x%m;
		x = x*x%m;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}
void Init(){//用来求逆元 
	Finv[1] = 1;
	for(int i = 2;i < maxn;i++)
		Finv[i] = Qpow(i,Mod-2,Mod);
}
int main()
{
	Init();
	for(int i = 1;i < maxn;i++)
		cout << Finv[i] << " ";
	return 0;
}

3.1.2 复杂度分析：求单个逆元的时间复杂度是lg(Mod)

3.2 拓展欧几里得算法

求a关于1模P的逆元，可以转化为a*X = 1+K*P，其中X与P都是整数，这样X即为所求逆元。

这样就可以转化为拓展欧几里得算法（要求a与P互质）：a*X + K*P = 1；

3.3 逆元线性筛

递推式：inv[i] = (Mod-Mod / i) * inv[Mod% i]%Mod

推倒：假设t = Mod / i（向下取整），k = Mod % i，那么t * i + k = Mod；

因为 ；

等式两边同时除 i * k，得：

；

移项，得：

;

即 inv[i] = (-Mod/i)*inv[Mod% i]%Mod

如果要保证结果为正： inv[i] = (Mod-Mod / i) * inv[Mod% i]%Mod

3.3.1 代码实例：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 100010;
const int Mod = 1e5+7;
LL inv[maxn];
void Inv(){
	inv[0] = inv[1] = 1;
	for(LL i = 2;i < maxn;i++){
		inv[i] = (Mod - Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
	}
}
int main()
{
	Inv();
	return 0;
}

3.3.2 算法复杂度分析：线性时间递推，时间复杂度O(lg n)

3.3.3 求 n! 逆元：

inv[i] = inv[i+1] * (i + 1) % Mod

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int Mod = 1e9+7;
typedef long long LL;
LL Finv[maxn],F[maxn];//F存阶乘，Finv存对应逆元 
LL Qpow(LL x,LL p,LL m){ 
	LL res = 1;
	while(p){
		if(p&1)	res =res*x%m;
		x = x*x%m;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}
void Init(){
	F[0] = 1;
	for(LL i = 1;i < maxn;i++)
		F[i] = F[i-1]*i%Mod; 
	Finv[maxn-1] = Qpow(F[maxn-1],Mod-2,Mod);
	for(int i = maxn-1;i > 0;i--)
		Finv[i-1] = Finv[i]*i%Mod;
}
int main()
{
	Init();
	for(int i = 1;i < maxn;i++)
		cout << Finv[i]*F[i]%Mod << "	";
	return 0;
}