C/C++ 哈夫曼树与哈夫曼编码

个人笔记，仅供复习

1.哈夫曼树

1.1 定义：

• 带权路径长度(WPL)：设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值W(k)，从根结点到每个叶子结点的长度为L(k)，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：WPL = W(1)*L(1) + W(2)*L(2) + ... + W(k)*L(k)
• 最优二叉树或哈夫曼树：WPL最小的二叉树

如上面三棵树，第三颗的WPL最小，所以它是哈夫曼树。

1.2 构造哈夫曼树

1.2.1 思想：每次把权值最小的两棵树合并，合并后的新树作为新的结点再与其他结点进行比较。

1.2.2 伪代码：

                        (1)从所有结点的集合A中选出权值最小的两个结点

                        (2)将这两个结点合并成一棵树，同时从集合A删除这两个结点，新结点的权值为两个子树权值的和

                        (3)将新结点放回集合A，重复(1)，直到A为空

1.2.3 代码实例：

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode{
	int Weight;
	HuffmanTree Left, Right;
}
HuffmanTree Huffman( MinHeap H )
{ /* 假设H->Size个权值已经存在H->Elements[]->Weight里 */
	int i; HuffmanTree T;
	BuildMinHeap(H); /*将H->Elements[]按权值调整为最小堆*/
	for (i = 1; i < H->Size; i++) { /*做H->Size-1次合并*/
		T = malloc( sizeof( struct TreeNode) ); /*建立新结点*/
		T->Left = DeleteMin(H);
		/*从最小堆中删除一个结点，作为新T的左子结点*/
		T->Right = DeleteMin(H);
		/*从最小堆中删除一个结点，作为新T的右子结点*/
		T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight;
		/*计算新权值*/
		Insert( H, T ); /*将新T插入最小堆*/
	}
	T = DeleteMin(H);
	return T;
} 

1.2.4 代码分析：

        以上代码是用C语言的指针来建树，同时用最小堆来存储结点，方便每次找权值最小的结点。其中的MinHeap是最小堆的结构体的指针；DeleteMin()函数是对最小堆进行删除最小权值结点，同时返回该结点地址的操作。

1.3 哈夫曼树的特点：

• 没有度为1的结点
• n个叶子结点的哈夫曼树共2n-1个结点
• 哈夫曼树的任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树

1.4 对同一组权值是否存在不同的两颗哈夫曼树？ 答：是。

2.哈夫曼编码

2.1 背景：给定一段字符串，如何对字符进行编码，可以使得该字符串的编码存储空间最少？

2.2 分析：共三种方法

• 用等长ASCII编码：58 ×8 = 464位；
• 用等长3位编码：58 ×3 = 174位；
• 不等长编码：出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低的字符则可以编码长些。

2.3 如果要进行不等长编码需要考虑的问题：

• 如何避免编码的二义性（即如何让编码意义唯一确定，不会有歧义）
• 如何让编码代价最小（让频率高的编码尽量短，频率低的可以长点）

2.3.1 避免二义性：

        使任何字符的编码都不是其他字符编码的前缀码（例如，将0编码为1，那么其他字符编码就不能以1开头）。用二叉树进行编码，左分支定为0，右分支为1，字符只放在叶结点上。这样就可以确定任一个字符编码不是另一个的前缀。

如上图a、u、x、z的编码分别为：a:00,u:01,x:10,z:11

2.3.2 编码代价最小：

        这样问题就从如何让编码代价最小变成了如何让二叉树WPL最小。于是用哈夫曼树来进行建树，就可以使编码代价最小。