算法导论157 达到最高效益的调度

【转】

问题： 假设有一台机器，以及在此机器上处理的n个作业a1,a2,...an的集合。每隔作业aj有一个处理时间tj，效益pj，以及最后期限dj。机器在一个 时刻只能处理一个作业，而且作业aj必须在tj连续时间单位内不间断地运行。如果作业aj在最后期限dj之前完成，则获得效益pj，但如果在最后期限之后 才完成，则没有效益。请给出一个动态规划算法，来寻找能获得最大量效益的调度，假设所有的处理时间都是1到n之间的整数。

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分析：
其实这个问题类似于01背包问题。
1.    将a1,a2,…,an按照dj值排序，从小到大。假设接下来的分析中，已经保证当i<j时，di<dj。添加d0=0。
2.    构建数组s[n][d[n]]，s[i][j]代表在j时间内，调度i个作业，所得最高效益值。初始时，令s[i][0] = 0（i = 0->n），s[0][j] = 0（j = 0->d[n]）。
3.    求s[i][j]的值，select[i][j]用于记录是否选择i。这里递归包含了一种思想：如果第i个作业被调度，那么最好使其在期限时正好结束，这样能够保证i之前的作业能够在更充裕的时间内被调度。

    for i = 1->n  
    for j = 1->d[i]  
        //不调度i  
        s[i][j] = s[i-1][min(j, d[i-1])]  
        select[i][j] = false  
        //调度i  
        if j>t[i]  
            if s[i][j] < s[i-1][min(j-t[i], d[i-1])]+p[i]  
                s[i][j] = s[i-1][min(j-t[i], d[i-1])]+p[i]  
                select[i][j] = true  

4.    最终s[n][d[n]]即为所求最高效益值。如果要求出所调度的作业序列，可以通过select取得。

注意d[i-1][j] 中j最多到达d[i-1], 所以要min(j-t[i], d[i-1])!!