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  • 线性代数:正交补

    1、行空间和左零空间
    矩阵的列所张成的空间叫做列空间,顾名思义,行空间就是矩阵行所张成的空间。
    矩阵A的列空间,等于转置矩阵T(A)的行空间。
    所有满足Ax=0的x向量组成的空间叫做零空间,满足yA=0的向量组成的空间是左零空间。
    矩阵A的零空间,等于转置矩阵T(A)的左零空间。

    2、列空间正交左零空间
    左零空间的任意向量,有XA=0,X正交与A的所有列向量正交,进而X与A列空间的任意向量正交。
    由于X的任意性,说明矩阵的列空间与左零空间正交

    同样行空间与零空间正交。

    3、正交补
    假设V是Rn的一个子空间,那么 V的正交补也是一个子空间,定义为 { x | x.v=0},也即是Rn中所有正交于V的向量所组成的子空间。

    显然N(A)是行空间R(A)  的正交补。

    4、A秩= T(A)秩
    A的秩与A转置的秩相等。通过将矩阵转化为简化阶梯形,在转置可知。
    A的秩定义为dim(C(A)),A的列空间的基数。 因而dim(C(A) = dim(C(T(A))。

    5、dim(V) + dim(V正交补) = n
    对于矩阵A,dim(C(A)) + dim(N(A)) = n,这是因为Ax=0方程的解空间的基向量数量等于(n-A的简化阶梯形主列数);
    进而 dim(C(T(A))) + dim(N(T(A))=n  => dim(C(A))+dim(N(T(A)) =n。  矩阵的列空间的维数+矩阵左零空间的维数=n;
    对于任意一个子空间V,可以将它的基作为列形成一个矩阵,V相当于这个矩阵的列空间,那么它的正交补必然就是这个矩阵的左零空间。

    6、V的基+V正交补的基 = Rn的一组基
    假设子空间V与子空间W互为正交补,V的基 = (v1,v2,...,vk),W的基=(w1,w2,..,wj) ,有k+j = n;
    由于v*w=0,V与W共有的一个唯一向量是零向量;
    如果(v1,...,vk,w1,...,wj)是线性无关的,则必然是Rn的一组基。

    c1V1+...,ckVk+d1w1+...+djWj = 0 =》 c1v1+...+ckVk = -d1W1-...-dkWk =>左右两边都是零向量=》c1,...,ck,d1,...,dj =0。 说明(v1,...,vk,w1,...,wj)是线性无关的。

    7、正交补的正交补
    子空间V的正交补W,那么W的正交补是不是V呢。是否存在某个向量x,x属于W的正交补,但不属于V。
    从上一节可知,x可以表示为v+w,v属于V,w属于W,那么有x.w=0 => (v+w).w=v.w+w.w=0 => w.w=0 => w是零向量。可见x必然属于V。
    因此正交补是一种对称关系。

    8、矩阵相关子空间的正交关系
    C(T(A))  与 N(A) 正交补关系
    C(A) 与 N(T(A) 正交补


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