最大子序列和问题

问题描述：给定一整数序列A1， A2，... ，An （可能有负数），求A1~An的一个子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大。

分治法：

思路：最大子序列和可能出现在三个地方：整个出现在输入数据的左半部分，整个出现在输入数据的右半部分，或者跨越输入数据的中部从而占据左右两个半部分。

代码：

double max3(double a, double b, double c){
    int d;
    d = (a > b) ? a : b;
    return (d > c) ? d : c;
}

int MaxSubSum(const int A[], int left, int right){
    int center = 0;
    int maxleftsum = 0, maxrightsum = 0;
    int leftbordersum = 0, rightbordersum = 0;
    int maxleftbordersum = 0, maxrightbordersum = 0;

    if(left == right)
        if(A[left] > 0)
            return A[left];
        else
            return 0;
    else
        ;

    center = (left + right) / 2;
    maxleftsum = MaxSubSum(A, left, center);
    maxrightsum = MaxSubSum(A, center + 1, right);

    for(int i = center; i >= left; i--){
        leftbordersum += A[i];
        if(leftbordersum > maxleftbordersum)
            maxleftbordersum = leftbordersum;
    }

    for(int i = center + 1; i <= right; i++){
            rightbordersum += A[i];
            if(rightbordersum > maxrightbordersum)
                maxrightbordersum = rightbordersum;
    }

    return max3(maxleftsum, maxrightsum, maxleftbordersum + maxrightbordersum);
}

int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N){
    return MaxSubSum(A, 0, N - 1);
}

动态规划：

思路：在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和currentsum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和maxsum也不断增加(不断更新maxsum)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时currentsum将会小于maxsum，当然maxsum也就不会更新。如果currentsum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将currentsum置为0。然后，currentsum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前maxsum大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。

代码：

int MaxSubsequenceSum(int a[], int N){  
    int maxsum = 0, currentsum = 0;  
    for(int i = 0; i < N; i++)  
    {  
        currentsum += A[i];  
        if(currentsum > maxsum)  
            maxsum = currentsum;  
        else if(currentsum < 0)  
            currentsum=0;  
    }  
    return maxsum;  
}