求约数

试除法求约数：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int n;
vector<int> get_divisors(int x)
{
    vector<int> res;
    for(int i = 1;i <= x / i; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if(i != x / i) res.push_back(x / i);
        }
    }
    sort(res.begin(), res.end());
    
    return res;
}
int main()
{
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        vector<int> res = get_divisors(x);
        for(auto i : res)
            cout<<i<<" ";
        cout<<endl;
    }
}

从1到sqrt(x)来不停的判断是否整除，是的话那么就加进来，加一个特判：i != x / i

约数个数：

//约数个数、约数之和 算数整除定理；N = p1^a1 + p2^a2 + ... + pn^an
#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef unsigned long long ULL;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    unordered_map<int, int> primes;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        for(int i = 2; i <= x / i; i++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x]++;
    }
    ULL res = 1;
    for(auto i : primes)
    {
        res = res * (i.second + 1) % mod;
    }
    cout<<res<<endl;
}

N = p1^a1 + p2^a2 + ... + pn^an

 

约数个数等于各个约数的指数+1相乘，(a1+1)*(a2+1)……（an+1)

因为每个数的取值范围都是0~a1、0~a2、0~an 根据组合定律 所以约数的个数就是（a1 + 1） * （a2 + 1）  * （an + 1）。

p约数之和等于（p1^0+p1^1+……p1^a1)……(pk^0+pk^1+……+pk^ak)，将之展开实际上就是每个约数然后相加。

以样例为例子：

3
2
6
8
约数分别为：1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96
2 * 6 * 8 = 2^5 * 3 约数的个数就是(5 + 1) * (1 + 1) = 12;
约数之和就是：(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) * (3^0 + 3^1) = 63 * 4 = 252;

(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) * (3^0 + 3^1) = 2^0 * 3^0 + 2^0 * 3^1 + 2^1 * 3^0 + 2^1 * 3^1 + 2^2 * 3^0 + 2^2 * 3^1……2^5 * 3^0 + 2^5 * 3^1
实际上展开的就是每个约数然后加起来。

 约数之和代码：

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef unsigned long long ULL;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    unordered_map<int, int> primes;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        for(int i = 2; i <= x / i; i++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x]++;
    }
    ULL res = 1;
    for(auto i : primes)
    {
        int p = i.first, a = i.second;
        ULL t = 1;
        while(a--) t = (t * p + 1) % mod;
        res = (res * t) % mod;
    }
    cout<<res<<endl;
}

t = (t * p + 1) % mod;这是秦九韶算法

求最大公约数：

#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<gcd(a,b)<<endl;
    }
}

因为有这样的性质：

gcd(a, b) = gcd(b, a%b) 左右两边的公约数相等，如有三个整数d, a, b：

1）首先从左边推到右边：d | a, d | b，那么d | ax + by。a % b = a - a / b * b; (a / b = c向下取整）a % b = a - c * b（x = 1, y = -c)所以 d | a % b；

2)再从右边推到左边 ：d | b, d | (a % b) = d | ( a - c * b), 所以 d | ((a - c * b) + c * b) = d | a，得证。（这里a-c*b=a,x=1,b=c*b,y=1)

求最大公约数一句话：return b == 0 ? a : gcd(b, a%b) ; 或者 return b ? gcd(b, a % b) : a;