集合角度DP分析

　　动态规划（DP，Dynamic Programming）

一、状态表示（f[i][j]表示什么？）：

1、集合：所有只考虑前 i 个物品，且总体积不超过 j 的选法的集合。

2、属性：最大值（Max），还有最小值（Min），方案数。

二、状态计算（f[i][j]怎么算出来？）：

1、所有不选第 i 个物品的方案：

1 ~ i <= j， ------>>> 1 ~ i - 1 <= j，f[i - 1, j];

2、所有选择第 i 个物品的方案：

因为第 i 个物品必选，然后前 i - 1个物品任意选择。

1 ~ i - 1 + i <= j，1 ~ i - 1 <= j - vi  ------>>> f[i - 1][j - vi] + w[i]

　　然后在选 i 和不选 i 两种方案中取max ：f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

　　DP优化：只是对代码做等价变形。

　　优化方式：空间优化，二维优化成一维，f[j] = min(f[j], f[j - v[i]] + w[i])，然后第二层体积循环从大到小枚举：for(int j = V; j >= v[i]; j --)，这样就可以保证在枚举 i 这一层物品的时候，f[j - v[i]]没有更新，用的还是上一层的 f[i - 1][j - v[i]]的体积。

　　如果改成一维数组后第二层体积循环依然是从小到大枚举的话：for(int j = 0; j <= m; j ++)，因为 f[j - v[i]]体积是枚举过的，在这一层得到更新，所以对应的一定是这一层 i 时候的 j - v[i] 即：f[i][j - v[i]]。

　　f[j - v[i]] + w[i]取决于它是在第 i 层算出来的还是第 i - 1层算出来的，此时的f[j - v[i]]一定是第 i 层的。

n = 4, V = 5，第1 - 4件物品的体积和价值分别是：
1 2
2 4
3 4
4 5

体积   编号	0	1	2	3	4	5
第0个物品	0	0	0	0	0	0
第1个物品	0	2	2	2	2	2
第2个物品	0	2	4	6	6	6
第3个物品	0	2	4	6	6	8
第4个物品	0	2	4	6	6	8

　　for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = m; j >= v[i]; j --)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }

 二、完全背包问题

for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }

for(int i = 1; i <= n; i++)
       for(int j = v[i]; j <= m; j ++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

三、石子合并

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 310;
int n, s[N], f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i], s[i] += s[i - 1];
    
    for(int len = 2; len <= n; len ++)
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++)
        {
            int j = i + len - 1;
            f[i][j] = 1e9;
            for(int k = i; k < j; k ++)
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
        }
        
    cout << f[1][n] << endl;
}

 四、最长公共子序列

f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j], f[i][j - 1], f[i - 1][j - 1] + 1) ------>>>  f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1], f[i - 1][j - 1] + 1) 

　　for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if(A[i] == B[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }