矩阵的秩--上--中--下

1. 对任何一个矩阵，是行分块，列分块-----得到向量组

行秩：行向量组的秩

列秩：列向量组的秩

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1.  命题：矩阵的行秩，列秩在初等变换下不改变（对向量组实施初等变换后其得到的向量组与原向量组等价=等价的向量组具有相同的秩）

       初等变换----初等行变换+初等列变换

       等价的向量组具有相等的秩

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引理：初等行变换保持矩阵的列向量的极大无关组的列指标；

矩阵的行秩=矩阵的列秩,统称为矩阵的秩

矩阵相抵标准型（通过初等变换）【I O】

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矩阵左乘或者右乘非异矩阵后矩阵的秩不改变

矩阵A和B相抵的矩阵当且仅当rA=rB  A~B表示A和B的相抵

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若A的秩等于A的行秩等价于A的行向量线性无关，则称A为行满秩

若A的秩等于A的列秩等价于A的列向量线性无关，则称A为列满秩

矩阵A是满秩阵=矩阵A是方阵=矩阵A是非异阵

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中

矩阵A 是非异阵，矩阵A相抵与n阶单位阵

 一个矩阵可以看做一组向量组

1. 已知矩阵的秩等于r，则如何判断矩阵的秩
2. 求行列向量组的极大线性无关组
3. 用行列式来判定矩阵的秩----存在r阶子式不等于零，所有的r+1阶子式都等于零
   

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对一组向量组如何求其秩---利用矩阵来求极大线性无关向量组

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矩阵的秩--下

理论上的解法

• 矩阵秩的判别法“子式判别法”

-----存在一个r阶子式不等于零，所有的r+1阶子式都等于零

• 矩阵与一个非异矩阵相乘其秩不改变

矩阵的降阶公式------如果朱对角线上存在非异阵（方块矩阵 在方块对角的初等变换下矩阵的秩不改变）

用秩给出幂等矩阵的构造（对矩阵的秩的证明需要充分利用想象力）

r（A）+（I-A）=n

r（A）+r（B）-n<r（AB）<min{r（A）,r（B）}

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