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长久以来，“空间变换”这个话题对我就像是谜一样的存在。我了解这种事物所讲的起因和结果，却始终对当中的过程参悟不透。我知道，这是因为大学时经常逃课的结果：至今线性代数这门知识，都不曾系统性地学过一遍。今日，当每每不得不接触这个令人胆寒的东西时，我总是小心翼翼地记着那"咒语"般的规则——总之把矩阵和向量那么乘一下，就算是转了么。
不过最近，在学习“切空间"时，竟偶然意识到，原来可以用在几何学中经常用到的工具“坐标系图”来直观地分析这种变换。所以，我想就这个新的认识再在这里分享一下。
让我们从一个实际的例子入手：下图是一个用两维的笛卡尔坐标系表示的二维空间。
其中，黑色坐标系 x-y 代表一个二维空间；蓝色坐标系 i-j 代表另外一个二维空间。已知蓝色坐标系轴在黑色坐标系下对应的值是i=(1,1), j=(-1,1)，又知橙色向量 p 处在 i-j 空间中，其坐标值为(2,1)。现在的问题是，这个 p 被转换到黑色坐标系 x-y 空间下它的坐标值是什么？
解决这个问题一个最关键也最直接的想法是“向量分解与再合成”。p 可以被分解到 i 和 j 两个方向，得到 p= 2i+j；同时 i 又可以分解到 x 和 y 两个方向，得到 i = x + y，另外 j 也可以分解得到 j = -x + y。于是，我们全部展开，就得到 p(i-j) = 2i + j = 2(x + y) + (-x + y) = x + 3y = p(x-y) 。因此点 p 在 x-y 空间下的坐标值为(1,3)。
这种方法可以用来讨论更一般的情况。假设p点在 i-j 坐标系下为(k1,k2)，在 x-y 坐标系下为(q1,q2)。同样地有基向量 i 对应在 x-y 空间中为(m1,m2)；j 对应在 x-y 空间中为(n1,n2)。于是我们有以下推导，
i = m1x + m2y，j = n1x + n2y
于是，
p(i-j) = k1i + k2j
= k1(m1x + m2y) + k2(n1x + n2y)
= (k1m1 + k2n1)x + (k1m2 + k2n2)y
于是，
p(i-j) = (k1m1 + k2n1, k1m2 + k2n2)
= (q1, q2)
= p(x-y)
得到，
q1 = k1m1 + k2n1
q2 = k1m2 + k2n2
变换成矩阵形式，
其中(k1,k2)是 i-j 空间下的坐标值，而(q1,q2)是 x-y 空间下的坐标值。中间的矩阵就是用来做转换的矩阵。从中我们可以发现，如果竖着来观察，向量(m1,m2)就是基向量 i 在 x-y 空间下的坐标值，而向量(n1,n2)则是基向量 j 在 x-y 空间下的坐标值。这个矩阵，实际上就是由空间 i-j 下的基向量在空间 x-y 下的坐标值构成的。这一点，以前我就知道。但直到今天，我才理解了为什么是这样。
因为知道了底细，所以一些长久以来伴随的困惑也随之消解。比如，对于一个变换表达式 M * v1，v1究竟会被变换成什么样子，或者说什么空间内呢？这要由矩阵M决定：M中的各基向量代表的是什么空间，这个v1就会被转换到什么空间。
这个结论可以很自然地扩推广到三维或者高维空间中，因为“向量分解与再合成”的规则在一般（欧几里得）几何学中是普遍适用的。
现在，麻麻再也不用担心我的“空间转换”能力啦。