「洛谷P1306」斐波那契公约数 解题报告

P1306 斐波那契公约数

题目描述

对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入输出格式

输入格式：

两个正整数n和m。（n,m<=10^9）
注意：数据很大

输出格式：

Fn和Fm的最大公约数。
由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

1

说明

用递归&递推会超时
用通项公式也会超时

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前置芝士

矩阵快速幂，更相减损术，欧几里得算法。

思路

初看此题，毫无头绪，其实并不难。

结论很简单，设(f[i])表示斐波那契数列第(i)个，则有(gcd(f[i],f[j])=f[gcd(i,j)])。

为什么呢？

显然，当(i=j)时，结论成立。

假设(i<j)，我们设(f[i]=a,f[i+1]=b,f[i+2]=a+b...)

很明显，(f[j]=f[j-i] imes b+f[j-i-1] imes a)

因此(gcd(f[i],f[j])=gcd(f[i],f[j-i] imes f[i+1]+f[j-i-1] imes f[i]))

即(gcd(f[i],f[j])=gcd(f[i],f[j-i] imes f[i+1]))

引理：(gcd(f[i],f[i+1])=1)

证明：

显然，(gcd(f[1],f[2])=1)成立。

(gcd(f[2],f[3])=gcd(f[2],f[3]-f[2])=gcd(f[2],f[1])=1)

(gcd(f[3],f[4])=gcd(f[3],f[4]-f[3])=gcd(f[3],f[2])=1)

...

QED.

回到(gcd(f[i],f[j])=gcd(f[i],f[j-i] imes f[i+1]))这个式子，因为(gcd(f[i],f[i+1])=1)，因此(gcd(f[i],f[j])=gcd(f[i],f[j-i] imes f[i+1])=gcd(f[i],f[j-i]))

发现了吧？这和更相减损术的(gcd(i,j)=gcd(i,i-j))蜜汁相似，没错，就是公约数！(gcd(f[i],f[j]))就等于(f[gcd(i,j)])！

然后用矩阵快速幂求出(f[gcd(n,m)])即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Re register

int N, M;

int gcd( int x, int y ){ return y ? gcd( y, x % y ) : x; }

int a[3][3], b[3][3], c[3][3];

inline void Times( int a[3][3], int b[3][3] ){
	memset( c, 0, sizeof c );
	for ( int i = 1; i <= 2; ++i )
		for ( int k = 1; k <= 2; ++k )
			for ( int j = 1; j <= 2; ++j )
				c[i][j] = (int)( ( c[i][j] + 1ll * a[i][k] * b[k][j] ) % 100000000 );
}

int main(){
	scanf( "%d%d", &N, &M );
	N = gcd( N, M ) - 2;
	if ( N <= 0 ){ printf( "1
" ); return 0; }
	a[1][1] = a[1][2] = b[1][1] = b[1][2] = b[2][1] = 1;
	for ( int i = N; i; i >>= 1 ){
		if ( i & 1 ) Times( a, b ), memcpy( a, c, sizeof a );
		Times( b, b ), memcpy( b, c, sizeof b );
	}
	printf( "%d
", a[1][1] );
	return 0;
}