动态规划解0-1背包问题

本博文为博主自己对0-1背包问题的理解并结合网上的博客所写，因为个人水平有限，若是有错误的地方欢迎指出。谢谢！

•  问题描述：

给定n种物品和一个背包，物品i的重量是w[i]，其价值为v[i]，背包容量为cap，如何选择转入背包的物品，使得装入背包中的物品价值总最大？

•  问题归纳

 对于某一种物品，要么装入背包，要么不装，我们将其状态取0-1，装入为1，不装为0，此问题称为0-1背包问题。

一、问题分析及代码实现

当w[ ]={2,2,6,5,4}；v[ ]={6,3,5,4,6}，背包容量cap=10时

1、新建一个二维数组dp[6][11]，dp[i][j]为背包容量为j，第i个物品装入背包时的最大价值。

为什么要多一行一列了？因为这时要考虑，不往背包装物品和背包容量为0时的情况，此时。装入第一个物品时，只有当cap>=w[1]，如下图：

2、上图中，只有一个物品w[1 ]，所以就算cap容量再大也只放一个，当装物品2时，只考虑1、2不考虑剩下的，只考虑已经装的和即将装入的价值。同理得到：

其中，蓝色的框表示，当考虑物品 i 时，虽然，此时背包容量等于w[ i ]，但是其价值没有之前的同等容量下的价值大，所以维持不变。绿色表示，当此时背包的容量减去当前物品的重量以后，还有多余的容量，而多余的容量能装下的物品大的价值大与之前的方案，所以修改装入方案，使价值最大。

3、递推式：

当当cap<w[i]，说明装不下当前的，那此时价值应该和之前的相同；当cap>=w[i]，要考虑装入目前的了，多余的空间装入的价值和之前方案的价值的比较，若小于，则当前物品不用装入，若大于就装入；

dp=  dp[i-1][j];                                //当cap<w[i]
     max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);      //当cap>=w[i]

 4、代码实现：

/*说明:
 *w[]为每个物体的重量，v[]为每个物体的价值，cap为背包的容量
 */
int Knapsack(const vector<int> &w,const vector<int> &v,const int cap)
{
    int n=w.size();        //亦为物体的个数
    vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(cap+1,0));
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=cap;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=w[i-1])
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i-1]);
            }
        }
    }
    return dp[n+1][cap+1]；
}

 这里也可以用数组而不用向量，但因数组作为形参的时候，不能引入数组大小，函数要增加一个形参，所以图省事就用了向量。另外，这里代码中w[i-1]和v[i-1]之所以要减1，是因为二维矩阵中的下标与重量w[ ]和价值v[ ]的下标相差1要记得转换。

二、空间优化

 注意到一点，就是每当我们计算dp[i][j]时，只用到了dp[i-1][0...j]，因此，我们可以只用一个一维数组来实现上面的功能。

 这里w[ ]={2,2,6,5,4}；其下标不用转换。

int Knapsack(const vector<int> &w,const vector<int> &v,const int cap)
{
    int n=w.size();        //亦为物体的个数
    vector<int> dp(cap+1,0);
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)    
    {
        for(j=cap;j>=0;j--)
        {
            if(w[i]<j)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    return dp[cap+1];
}

 值得注意的是：

dp[ ]是从右往左更新的，因为若是从左往右更新，其后的的值会受到之前已更新的值的影响，达不到不优化空间之间的访问上一行中元素的效果。这一点在很多优化动态规划算法的空间时都要注意。

Ref:

http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/38864689 

http://blog.csdn.net/dapengbusi/article/details/7463968

http://blog.csdn.net/stack_queue/article/details/53544109(背包九讲）