点到直线方程的距离、垂足、对称点

直线方程一般式：

 

（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为

(当B=0时没有斜率)

 

两直线平行时：普遍适用：

，方便记忆运用：

(A2B2C2 != 0）

两直线垂直时：

两直线重合时：

(）

两直线相交时：

(）

两点（x1，y1）、（x2，y2）直线方程写成：

即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①

可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。所以直线AX+BY+C=0的一般式方程就是：

A = Y2 - Y1

B = X1 - X2

C = X2*Y1 - X1*Y2

问题描述1：

已知点的坐标（x0，y0），直线的方程为Ax+By+C = 0；求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

解决方法：

（1）距离：

         d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

         这个“距离”有符号，表示点在直线的上方或者下方，取绝对值表示欧式距离。

（2）垂足：

         求解两个方程：（a）、Ax + By + C = 0;（b）、(y - y0) / (x - x0) = B / A;

         解得，x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                    y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

（3）对称点：

         方法一：求解两个方程：(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

         方法二：把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点：

                首先，求出垂足；则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                解得，x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                           y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

         方法三：首先，求一系数k，k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                 则，   x' = x0 + k * A;

                           y' = y0 + k * B;

/**
     * Description 求点到直线的垂足
     * 
     * @param x1
     *            点横坐标
     * @param y1
     *            点纵坐标
     * @param A
     *            直线方程一般式系数A
     * @param B
     *            直线方程一般式系数B
     * @param C
     *            直线方程一般式系数C
     * @return 垂足点
     */
    private static Point getFootOfPerpendicular(double x1, double y1, double A, double B, double C) {
        if (A * A + B * B < 1e-13)
            return null;

        if (Math.abs(A * x1 + B * y1 + C) < 1e-13) {
            return new Point(x1, y1);
        } else {
            double newX = (B * B * x1 - A * B * y1 - A * C) / (A * A + B * B);
            double newY = (-A * B * x1 + A * A * y1 - B * C) / (A * A + B * B);
            return new Point(newX, newY);
        }
    }

    /**
     * Description 点到直线的距离
     * 
     * @param x1
     *            点横坐标
     * @param y1
     *            点纵坐标
     * @param A
     *            直线方程一般式系数A
     * @param B
     *            直线方程一般式系数B
     * @param C
     *            直线方程一般式系数C
     */
    private static double getDistanceOfPerpendicular(double x1, double y1, double A, double B, double C) {
        double distance = Math.abs((A * x1 + B * y1 + C) / Math.sqrt(A * A + B * B));
        return distance;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 直线方程为 :-1*x+1*y+0=0,也就是y=x+0
        double A = -1d, B = 1d, C = 0d;
        
        // 点0,1到之前y=x+0的垂足
        Point point = getFootOfPerpendicular(0, 1, -1, 1, 0);
        System.out.println(point.getX() + "," + point.getY());

        // 点0,1到之前y=x+0的距离
        double distance = getDistanceOfPerpendicular(0, 0, -1, 1, 0);
        System.out.println(distance);
    }

已知点的坐标（x0，y0），直线上的两点（x1，y1）、（x2，y2）；求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

解决方法：

        方法一：把直线化两点式为一般式，则一般式中的A = y2 -y1; B = x1 - x2; C = x2*y1 - x1*y2;带入上面的公式，即可求出相应的距离、垂足、对称点。

        方法二：

（a）距离：

         首先，求出垂足的坐标；

         则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

（b）垂足：

         首先，求一系数 k： 设直线的起点和终点分别为A（x1， y1）、B（x2， y2），直线外一点为C（x0， y0），垂足为D；并设k = |AD| / |AB。

         则，k * AB = AD = AC + CD，又 AB * CD= 0；所以，k * AB* AB = AC *AB，故 k =AC * AB / （AB * AB）。

         带入坐标，即得， k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

         则 x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1);

（c）对称点：

         同问题描述1中的方法。

参考《点关于直线的距离、垂足、对称点公式》