[矩阵加速]土豪送项链

题目描述

土豪给心上人做珍珠项链，他有K种珍珠，每种N颗，为了炫富，他每种珍珠都要用上。问他能做几种长度[1,N]的首饰。答案要模1234567891。

输入

第一行输入一个T(代表T组数据)

接下来T行，每行一个N，一个K，用空格隔开

1 ≤ T ≤ 10 

1 ≤ N ≤ 1,000,000,000 

1 ≤ K ≤ 30

输出

共T行

每行一个对应N，K的结果

样例输入

2
2 1
3 2

样例输出

2
8

温馨提醒您：

数据千万条，清零第一条，多测不清零，爆零两行泪

样例解释：

第一组数据：N=1,K=1时只有1种；N=2,K=1时只有1种，所以一共是2种

第二组数据：N=1,K=2时0种；N=2,K=2时有2种；N=3,K=2时有6种，所以一共是8种

are you 明白？

解题思路

首先我们这道题很明显是一个dp，可以说是双重DP。

我们先设一个ans[i]表示当[1,i]的方案总数。

那么很显然。ans[i] = dp[1][k] + dp[2][k].... + dp[i][k]。

我们就需要求出dp[i][j].

dp[i][j]表示长度为i,j个珍珠。

经过推算。

如何理解呢，我们想一下，如果需要长度为i,并且用到j个珍珠，那么它可以是两种状态转移过来

1.长度为i - 1的用了j - 1种珍珠，那么只能在（k - (j - 1)）中选一种珍珠，于是乘dp[i - 1][j - 1]。

2.长度为i - 1的用了j种珍珠，那么只能再在这j种珍珠中再选一种来用，于是就是dp[i - 1][j] * j。

那么

就很好构造了。

我们的初始矩阵

我们需要转移成这样

那么加速矩阵其实就很好推出来了。

相信你也发现了规律....

int main(){
    scanf ("%d",&t);
    while (t -- ){
        memset(A.c,0,sizeof(A.c));
        memset(B.c,0,sizeof(B.c));
        memset(C.c,0,sizeof(C.c));
        scanf ("%d%d",&n,&k);
        A.n = 1;
        A.m = k + 1;
        A.c[1][1] = 0;
        A.c[1][2] = k;
        B.n = B.m = k + 1;
        B.c[1][1] = B.c[k + 1][1] = 1;
        for (int i = 2;i <= k + 1;i ++){
            B.c[i][i] = i - 1;
            B.c[i][i + 1] = k - (i - 1);
        }
        C = A * qkpow(B,n);
        printf("%lld
",C.c[1][1]);
    }
}