P1516 青蛙的约会

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入输出格式

输入格式：

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式：

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 2 3 4 5

输出样例#1： 复制

4

说明

各个测试点2s

//题目的意思就是要让两只青蛙跳到同一位置，问最少跳几步
//可以得出方程：
//设跳了a步，
//am+x ≡an+y (mod l)
//a(m-n) ≡y-x (mod l)
//然后我们可以得出线性不定方程： 
//a(m-n) + bl =y-x
//此方程有解当且仅当gcd(m-n,l)|(y-x)
//然后我们可以用exgcd求出 a(m-n) + bl = gcd(m-n,l)
//因为我们要解的方程右边是(y-x)，而exgcd解的是 gcd(m-n,l)
//所以我们要让方程两侧同时乘以(y-x)/gcd(m-n,l)
//设(y-x)/gcd(m-n,l)为k
//则方程变为 ka(m-n) + kbl = y-x
//然后可以通过让a+ l/gcd(m-n,l)来得到正整数解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    long long g=exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-(a/b)*x;
    return g;
}

long long x,y,m,n,l,x0,y0;
long long L,sub;
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    if(m<n)        //要保证m-n为正，大概是比较方便 
        swap(m,n),swap(x,y);
    L=y-x,sub=(m-n);
    long long g=exgcd(sub,l,x0,y0);
    if(L%g)
        puts("Impossible");
    else
        printf("%lld",(x0*(L/g)%(l/g)+(l/g))%(l/g));
    return 0;
}