【DS】排序算法之希尔排序（Shell Sort）

一、算法思想

希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。
希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：
1）插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时， 效率高， 即可以达到线性排序的效率；
2）插入排序一般来说是低效的， 因为插入排序每次只能将数据移动一位；

我们将数组中两个元素之间的距离称为Gap，相邻元素之间的Gap自然是1，很明显的，插入排序的算法在调节元素的时候，Gap是1，这就造成了上面讲的低效的原因2）。因此希尔排序的思想如下：

1）假设序列的元素个数是n，选取一个初始Gap的d（d<n）；

2）将序列中元素之间距离（即Gap）为d的元素分为一组，在每组之间直接进行插入排序；

3）全部完成以后，缩小Gap至d1（d1<d），然后继续2）直到Gap为1；

常见的Gap序列如下：

1）希尔原本的Gap：N/2、N/4、...1(反复除以2)
2）Hibbard的Gap：1、3、7、...、2k-1（k表示第几个gap）
3）Knuth的Gap: 1、4、13、...、(3k - 1) / 2（k表示第几个gap）
4）Sedgewick的Gap: 1、5、19、41、109、...

二、算法示意图

如图所示，展示了分组和排序的过程。第一行是分组的过程，总共有8个元素，Gap为8/2=4，标记为相同颜色的元素为一组。第二行是同一组元素经过插入排序后形成的样子，可以看到，蓝色和灰色组元素进行了交换。第三行是Gap缩小为4/2=2的分组，相同颜色元素为一组，第四行是同组元素经过插入排序后形成的序列，可以看到每一组都是有序的。第五行是Gap缩小为2/2=1的分组，即整个数列为一个组，直接进行插入排序，这里就和插入排序完全一样了。

注意到第五行的时候，序列已经基本有序了，靠近插入排序的最优情况，所以插入排序的效率极高。

三、Java代码

//@wiki
public class ShellSort extends Sort {
    public static void sort(int array[]) {
        int length = array.length;
        int temp = 0;
        for (int gap = length / 2; gap >= 1; gap = gap / 2)
            for (int i = gap; i < length; i++)
                for (int j = i; j >= gap && array[j] < array[j - gap]; j -= gap) {
                    temp = array[j];
                    array[j] = array[j - gap];
                    array[j - gap] = temp;
                }
    }
}

这段代码看上去比较复杂，因为嵌套着三层for循环，另外代码的想法和上面示意描述的并不一致，因此总是会比较难理解。

示意中讲：按照每一组进行插入排序，很容易让人想到一组组的去执行插入排序，然后一起再进行下一步。代码不是这样的，代码是所有组同时进行的，第7行可以看到，每次遍历都是从gap开始遍历到数列最后，然后对每一个元素进行往前进行插入排序，不过这次不是和前一个相邻元素作比较，而是和j-gap作比较，很容易发现，这其实是在元素所在组进行插入排序。

四、算法复杂度

其算法复杂度至今没有一个确定的解，其复杂度依赖于其Gap序列，范围Ο(n^1.5) ~ Ο(n^2)。而最好的情况则是序列初始状态就是顺序排列，此时算法的复杂度是O(n)。平均复杂度则为：Ο(n^5/4)。

空间复杂度非常容易，由代码可以看出来，只需要一个位置temp用于交换即可，因此是O(1)。