洛谷P3811 【模板】乘法逆元

• 题意 :RT

• 题解:这题比较坑,我用了扩欧和快速幂都T了,后来学习了一种线性算法,用来求一连串数的逆元.

  ​ 首先我们知道 \(p\equiv0 \;(mod\,p)\) .

  ​ 设: \(p=k*i +r\),\(k\)是\(p/i\)的商,\(r\)是余数.

  ​ 于是我们得到\(k*i+r\equiv 0\;(mod\;p)\).

  ​ 然后乘上\(i^{-1},r^{-1}\)并移项得到:

  ​ \(i^{-1}\equiv-k*r^{-1}\;(mod\;p)\) .

  ​ \(i^{-1}\equiv-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor*(p\;mod\;i)^{-1}\ (mod\;p)\).

  ​ 而对于\(p\;mod\;i\),一定有\(p\;mod\;i<i\),所以我们用\(f[i]\)来表示\(i\)的逆元.

  ​ 最后不要忘了取正,因为在等式右边加上\(p\)原式不变,所以最后的公式为:

  ​ \(i^{-1}\equiv(p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor)*(p\;mod\;i)^{-1}\ (mod\;p)\).

• 代码:

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #include <cstring>
  #include <cmath>
  #include <algorithm>
  #include <stack>
  #include <queue>
  #include <vector>
  #include <map>
  #include <set>
  #include <unordered_set>
  #include <unordered_map>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  const int N = 30000528;
  const int mod = 1e9 + 7;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<long,long> PLL;
  
  ll n,p;
  ll f[N];
  int main() {
      scanf("%d %d",&n,&p);
      f[1]=1;
      puts("1");
      for(ll i=2;i<=n;++i){
          f[i]=(p-p/i)*f[p%i]%p;
          printf("%lld\n",f[i]);
      }
      return 0;
  }