二维背包问题

二维背包问题
有N件物品和一个容量为V，载重为U的背包。第i件物品的体积是a[i]，重量是b[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：f [i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}。如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。

物品总个数的限制 
有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。

第一种，二维背包和01背包

import java.util.*;
//这是二维背包和01背包结合的情况
public class Main1 {
    
    static int INF=-10000;
    public static int beibao(int f[][],int w[],int a[],int b[],int U,int V,int T){
        for(int i=1;i<=U;i++)
            for(int j=1;j<=V;j++)
                f[i][j]=INF;
        f[0][0]=0;
        for(int i=0;i<T;i++){
            for(int j=U;j>=a[i];j--){
                for(int k=V;k>=b[i];k--){
            f[j][k]=Math.max(f[j-a[i]][k-b[i]]+w[i],f[j][k]);            
                }
            }
        }
        return f[U][V];
    }
    public static void main(String[] args) {
         Scanner sc = new Scanner(System.in);
             int U = 1000;
             int V = 1000;
             int T =5;
             int f[][]=new int[U+1][V+1];
             int w[] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5};                      //价值 
             int a[] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300};             //每一个的体积
             int b[] = {800 , 400 , 200 , 200 , 300};
             int t = beibao(f, w, a, b, U, V, T);
             System.out.println(t);
    }

}

第二种：杭电2159 二维背包加完全背包：

import java.util.*;
public class Main1{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while(sc.hasNext()){
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        int s = sc.nextInt();
        int a[]=new int[k+1];
        int b[]=new int[k+1];
        int dp[][]=new int[s+1][m+1];
        for(int i=0;i<k;i++){
            a[i]=sc.nextInt();
            b[i]=sc.nextInt();
        }
            for(int i=0;i<k;i++)
                for(int j=1;j<=s;j++)
                    for(int l=b[i];l<=m;l++)
                        dp[j][l]=Math.max(dp[j][l],dp[j-1][l-b[i]]+a[i]);
            if(dp[s][m]>=n){
                for(int i=0;i<=m;i++){
                    if(dp[s][i]>=n)
                    {
                        System.out.println(m-i);
                        break;
                    }
                }
            }
            else
                System.out.println(-1);
    }
}

}