斜率优化dp

斜率优化dp

转载自巨佬MashiroSky的博客

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数

　　相信有心想学习斜率优化的同志们一定自己摸索着写过[hnoi2008]玩具装箱这道题吧，我刚开始学习斜率优化的时候，也是写了这个，然后似懂非懂的发现，好像斜率优化就是先证明决策单调性，然后再用单调队列维护一下什么的，这不就是套个模板的东西吗→_→。

　　对于某一类型的dp方程

f[i]=Min(a[i]∗b[j]+c[j]+d[i])f[i]=Min(a[i]∗b[j]+c[j]+d[i])

　　其中a[x],b[x],c[x],d[x]a[x],b[x],c[x],d[x]是关于xx的函数，且bb单增。——————【1】——————【1】

　　按照一贯的套路，先数学归纳法证明决策单调性。

　　1.归纳假设：

　　　　假设有ii前两个决策点j,k(j<k)j,k(j<k)，且kk的决策要比jj好，即：

a[i]∗b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]∗b[k]+c[k]+d[i]，j<k——————【2】a[i]∗b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]∗b[k]+c[k]+d[i]，j<k——————【2】

　　2.归纳推理：

　　　　此时后面有状态i+1i+1，这里我们为了简单起见，不妨设a[i+1]=a[i]−v,v>0a[i+1]=a[i]−v,v>0，也就是aa单调递减。

即证：a[i+1]∗b[j]+c[j]+d[i+1]>=a[i+1]∗b[k]+c[k]+d[i+1]即证：a[i+1]∗b[j]+c[j]+d[i+1]>=a[i+1]∗b[k]+c[k]+d[i+1]

(a[i]−v)∗b[j]+c[j]+d[i+1]>=(a[i]−v)∗b[k]+c[k]+d[i+1](a[i]−v)∗b[j]+c[j]+d[i+1]>=(a[i]−v)∗b[k]+c[k]+d[i+1]

化简得：a[i]∗b[j]+v∗b[k]+c[j]>=a[i]∗b[k]+v∗b[j]+c[k]化简得：a[i]∗b[j]+v∗b[k]+c[j]>=a[i]∗b[k]+v∗b[j]+c[k]

  

由【2】得：a[i]∗b[j]+c[j]>=a[i]∗b[k]+c[k]由【2】得：a[i]∗b[j]+c[j]>=a[i]∗b[k]+c[k]

由【1】得：b[k]>b[j]由【1】得：b[k]>b[j]

又∵v>0又∵v>0

∴v∗b[k]>=v∗b[j]∴v∗b[k]>=v∗b[j]

得证得证

　　所以，决策单调性是存在的。我们将由决策单调性得出的式子展开，化成斜率式：

a[i]∗b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]∗b[k]+c[k]+d[i]，j<ka[i]∗b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]∗b[k]+c[k]+d[i]，j<k

−a[i]>=c[k]−c[j]b[k]−b[j]−a[i]>=c[k]−c[j]b[k]−b[j]

　　记斜率

slope(i,j)=c[k]−c[j]b[k]−b[j]slope(i,j)=c[k]−c[j]b[k]−b[j]

　　然后发现这个东西很符合单调队列的尿性：

1. −a[i]>=slope(q[l],q[l+1])−a[i]>=slope(q[l],q[l+1])。因为q[l]q[l]在q[l+1]q[l+1]之前加入，那么显然这个式子就表示q[l]q[l]决策不如q[l+1]q[l+1]优，我们可以将队首pop掉。
2. slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)。假设我们在后面存在一个a[t]a[t]使得−a[t]>=slope(q[r−1],q[r])−a[t]>=slope(q[r−1],q[r])那么等到pop了q[r−1]q[r−1]之后，−a[t]−a[t]一定也会>=slope(q[r],i)>=slope(q[r],i)，q[r]q[r]也会被pop。所以说q[r]q[r]实际上是无用的，我们可以直接将它pop掉。

　　问题就这样优化到了O(n)O(n)。

　　回顾一下我们之所以可以使用斜率优化，是因为这个dp方程具有决策单调性；否则我们推不出斜率式。之后我们将决策单调性的式子变形为斜率式，当满足斜率式的时候就表明前一个决策不如后一个决策优，一切都是围绕着决策单调性开展的，可以说决策单调性是斜率优化的前提。（那是真的么，欲知后事，请看下文）

　　现在我们换一个角度来考虑问题，刚刚是直接从”数“的角度进行了严谨的证明，那么我们现在从”形“的角度来意会。

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形

　　dp方程：

f[i]=Min(a[i]∗b[j]+c[j]+d[i])，b[j]单增f[i]=Min(a[i]∗b[j]+c[j]+d[i])，b[j]单增

　　我们这里沿用上面“数”的条件：aa单减，bb单增。

　　移项：

−a[i]∗b[j]+f[i]=c[j]+d[i]−a[i]∗b[j]+f[i]=c[j]+d[i]

　　是不是很像直线的斜截式：−a[i]−a[i]为直线的斜率；直线过点：(b[j],c[j]+d[i])(b[j],c[j]+d[i])；f[i]f[i]即为直线在Y轴上的截距。

　　

　　可以看出，因为f[i]f[i]要尽可能小，所以我们把之前小于ii的jj画在平面直角坐标系上，一如线性规划，把这条斜线自下往上平移时遇到的第一个点，即能使目前状态有最小值的点。于是我们需要维护一个下凸壳，把那些肯定不会贡献的点删掉。

　　我们用一个单调队列维护这个凸壳，因为要保证凸壳的下凸性，所以我们显然可以得到单调队列pop队尾的条件：slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)。

　　考虑什么情况下pop队首元素（这里我们的讨论都是基于f[i]f[i]取最小值的情况下的）：

1. 斜率−a[i]−a[i]单增（因为aa单减）。−a[i]>slope(q[l],q[l+1])−a[i]>slope(q[l],q[l+1])。
2. 斜率不单调。无法pop队首，二分或者三分查找队列中的最优解。二分做法：假设你要在上凸包上二分找斜率为kk的切线。取中间的midmid号点，如果mid+1mid+1存在且与midmid点的斜率小于kk，则l=mid+1l=mid+1；如果mid−1mid−1存在且与midmid点的斜率大于kk，则r=mid−1r=mid−1；如果上面两条都不满足，则midmid就是切点。

　　不错，你一定已经发现第一种情况所对应的维护方式不是跟之前所说“数”的单调队列维护方式一模一样吗，没错，其实这只是两种不同的解题方式所得出来的同样的结果。

　　两种方法各有优缺点吧，“形”的角度比较方便理解，对于更高深的cdq分治维护凸包可以比较清晰的了解。但是遇到复杂的dp方程以及决策单调性证明就得靠“数”了（比如国王饮水记），看情况使用吧。

　　之前说的决策单调性是斜率优化的基础这句话其实并不严谨，像这种从图形角度来求解的斜率优化就并没有用到决策单调性。想一想如果能证明决策单调性，那么一定就是对aa和bb的单调性有要求的，否则的话就是什么斜率不单调啦，在凸包上二分啦什么的。

　　这就是斜率优化啦。

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小科普

　　回顾之前斜率优化的运用，它必须要有一个前提条件：bb（横坐标）单增。而如果b[j]b[j]不单调怎么办呢？还能不能用斜率优化呢？

　　答案是可以的，我们需要使用CDQ分治或者splay来解决这个问题。

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总结

　　斜率单调暴力移指针
　　斜率不单调二分找答案
　　x坐标单调开单调队列
　　x坐标不单调开平衡树|cdq分治

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参考资料：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7a1746820100xztv.html

http://tieba.baidu.com/p/3671167462

http://blog.csdn.net/u010336344/article/details/52693858

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