C++ 算法

C++ 算法

算法概念

算法是特定问题求解步骤的描述

在计算机中表现为指令的有限序列

算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。

对于算法而言，语言并不重要，重要的是思想。

算法和数据结构区别

数据结构只是静态的描述了数据元素之间的关系

高效的程序需要在数据结构的基础上设计和选择算法

程序=数据结构+算法 

总结：

      算法是为了解决实际问题而设计的

      数据结构是算法需要处理的问题载体

      数据结构与算法相辅相成

算法特性

输入

            算法具有0个或多个输入

输出

            算法至少有1个或多个输出

有穷性

            算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环

确定性

            算法中的每一步都有确定的含义，不会出现二义性

可行性

            算法的每一步都是可行的

算法效率的度量

1、事后统计法

       比较不同算法对同一组输入数据的运行处理时间

缺陷

       为了获得不同算法的运行时间必须编写相应程序

       运行时间严重依赖硬件以及运行时的环境因素

       算法的测试数据的选取相当困难

事后统计法虽然直观，但是实施困难且缺陷多。

2、事前分析估算

       依据统计的方法对算法效率进行估算

       影响算法效率的主要因素

       算法采用的策略和方法

              问题的输入规模

              编译器所产生的代码

              计算机执行速度

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include <iostream>
#include <string>

//算法最终编译成具体的计算机指令
//每一个指令，在具体的计算机上运行速度固定
//通过具体的n的步骤，就可以推导出算法的复杂度

long sum1(int n)
{
    long ret = 0;                         
    int* array = (int*)malloc(n * sizeof(int)); 
    int i = 0;  

    for(i=0; i<n; i++)   
    {
        array[i] = i + 1;
    }

    for(i=0; i<n; i++) 
    {
        ret += array[i];
    }

    free(array); 

    return ret; 
}

long sum2(int n)
{
    long ret = 0;
    int i = 0;

    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        ret += i;
    }

    return ret;
}

long sum3(int n)
{
    long ret = 0;

    if( n > 0 )
    {
        ret = (1 + n) * n / 2; 
    }

    return ret;
}


void mytest()
{
    printf("%d
", sum1(100));
    printf("%d
", sum2(100));
    printf("%d
", sum3(100));

    return;
}

int main()
{
    mytest();

    system("pause");
    return 0;
}

int func(int a[], int len)
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    int s = 0;

    for(i=0; i<len; i++) n
    {
        for(j=0; j<len; j++) n
        {
            s += i*j;  //n*n
        }
    }
    return s; 
}
//n*n

注意1：判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略。

注意2：在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度。

2、大O表示法

算法效率严重依赖于操作(Operation)数量

在判断时首先关注操作数量的最高次项

操作数量的估算可以作为时间复杂度的估算

O(5) = O(1)

O(2n + 1) = O(2n) = O(n) 

O(n2+ n + 1) = O(n2)

O(3n3+1) = O(3n3) = O(n3)

常见时间复杂度

关系

3、算法的空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法的存储空间实现

S(n) = O(f(n))

其中，n为问题规模，f(n))为在问题规模为n时所占用存储空间的函数

大O表示法同样适用于算法的空间复杂度

当算法执行时所需要的空间是常数时，空间复杂度为O(1)

空间与时间的策略

           多数情况下，算法执行时所用的时间更令人关注

           如果有必要，可以通过增加空间复杂度来降低时间复杂度

           同理，也可以通过增加时间复杂度来降低空间复杂度

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

/*
    问题： 
    在一个由自然数1-1000中某些数字所组成的数组中，每个数字可能出现零次或者多次。
    设计一个算法，找出出现次数最多的数字。
*/

// 方法1： 排序，然后找出出现次数最多的数字
// 排序，然后找出出现次数最多的数字

// 方法2： 把每个数字出现的次数的中间结果，缓存下来；在缓存的结果中求最大值
void search(int a[], int len)
{
    int sp[1000] = {0};
    int i = 0;
    int max = 0;

    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        int index = a[i] - 1;
        sp[index]++;
    }
    for (i = 0; i < 1000; i++)
    {
        if (max < sp[i])
        {
            max = sp[i];
        }
    }
    for (i = 0; i < 1000; i++)
    {
        if (max == sp[i])
        {
            printf("%d
", i + 1);
        }
    }
}


void mytest()
{
    int array[] = {1, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 2, 3};
    search(array, sizeof(array)/sizeof(array[0]));

    return;
}

int main()
{
    mytest();

    system("pause");
    return 0;
}

1	大部分程序的大部分指令之执行一次，或者最多几次。如果一个程序的所有指令都具有这样的性质，我们说这个程序的执行时间是常数。
logN	如果一个程序的运行时间是对数级的，则随着N的增大程序会渐渐慢下来，如果一个程序将一个大的问题分解成一系列更小的问题，每一步都将问题的规 模缩减成几分之一 ，一般就会出现这样的运行时间函数。在我们所关心的范围内，可以认为运行时间小于一个大的常数。对数的基数会影响这个常数，但改变不会太 大：当N=1000时，如果基数是10，logN等于3；如果基数是2，logN约等于10.当N=1 00 000，logN只是前值的两倍。当N时原来的两倍，logN只增长了一个常数因子：仅当从N增长到N平方时，logN才会增长到原来的两倍。
N	如果程序的运行时间的线性的，很可能是这样的情况：对每个输入的元素都做了少量的处理。当N=1 000 000时，运行时间大概也就是这个数值；当N增长到原来的两倍时，运行时间大概也增长到原来的两倍。如果一个算法必须处理N个输入（或者产生N个输出）， 那么这种情况是最优的。
NlogN	如果某个算法将问题分解成更小的子问题，独立地解决各个子问题，最后将结果综合起来 ，运行时间一般就是NlogN。我们找不到一个更好的形容， 就暂且将这样的算法运行时间叫做NlogN。当N=1 000 000时，NlogN大约是20 000 000。当N增长到原来的两倍，运行时间超过原来的两倍，但超过不是太多。
N平方	如果一个算法的运行时间是二次的（quadratic），那么它一般只能用于一些规模较小的问题。这样的运行时间通常存在于需要处理每一对输入 数据项的算法（在程序中很可能表现为一个嵌套循环）中，当N=1000时，运行时间是1 000 000；如果N增长到原来的两倍，则运行时间将增长到原来的四倍。
N三次方	类似的，如果一个算法需要处理输入数据想的三元组（很可能表现为三重嵌套循环），其运行时间一般就是三次的，只能用于一些规模较小的问题。当N=100时，运行时间就是1 000 000；如果N增长到原来的两倍，运行时间将会增长到原来的八倍。
2的N次方	如果一个算法的运行时间是指数级的（exponential），一般它很难在实践中使用，即使这样的算法通常是对问题的直接求解。当N=20时，运行时间是1 000 000；如果增长到原来的两倍时，运行时间将是原时间的平方！

log log N 可以看作是一个常数：即使N很多，两次去对数之后也会变得很小

以前光看了n多排序算法,知道仅通过比较的排序算法一共两种复杂度

O(N2)或O(N*lgN),

由于高数学的不好,之前一看到后者就放弃了思考,没有真正研究为什么会有个lgN,

这两天工作不是很忙,看了一下基础知识,有了一定的认识,算是初步搞清楚了原因.

写在这里算是一个记录,如果有问题也请大家指正.

说到N*lgN的算法大致上有几种:堆排序,归并排序,快速排序.

由于学习数据结构的时候老师讲过快速排序,(其实各种都讲过,我只记住了这种)我现在还是非常有印象的,

这几种排序实际都有一个共同点,这个共同点让他们有了lgN的特性.

都是使用了分治算法,把大集合通过分治,形成小集合,小集合的排序再次递归更小集合,直到1个(还可能是2个或3个)元素为止.

这样对于整个集合来讲,每次递归都是处理2个元素数量是1/2当前元素数量的新集合,

f(x) = f(x/2) + a (有限极小数)

这个特点在堆排序和归并排序中尤为突出,他们是绝对的遵循2分法的.而快速排序结果是随机的,如果点背,可能出现O(N*N)的可能性

下面用堆排序为例说明一下NlgN:

为了让更多人明白,我简单把堆排序说一下:

堆排序就是把原来输入的值串,当成一棵完全2叉树,每次找最大值的时候,都是把数的左右子节点比较,把大于自己的最大的一个跟自己互换,找到一个后,重新找剩下的n-1个,一直到最终找完所有节点.

由于递归使用的是深度优先,每次都会从最底层往上找起,每次找的次数假设是F(x),则其需要找两个子树F(x/2)并且等两个子树处理完后,比较2次(子树的根比较一次,跟自己比较一次)如果连移动都算上,是3次操作

值的注意的是,由于最初排列过了以后,找子树的时候只要找那颗被破坏了的子树即可,

另一颗排过序了的不需要再找了. (这个我自己都感觉说的不明白,如果实在不行,大家再去看看相关资料吧)

这样分析下来,找第x个节点的操作次数为: f(x) <= f((x-1)/2) +3 (当然,我理解算成 + 2也行,x-1是把根去掉)

由于当x为2的整次方倍 + 1 的时候,正好是这个数值,当其他的情况 也不大于这个值

所以我们可以就使用最大值的情况 f(x) = f((x-1)/2) + 3; 为了计算更容易

直接 f(x) = f(x/2) + 3

 f(x/2) = f(x/4) + 3

......

 f(x/2m-1) = f(x/2m) + 3   (2m>=x)  <= f(1)+3 < 3;

由于一共m个算式 加起来是 f(x) = 3m 而 m = log(2)(x)

f(x)=3log(2)(x);

而计算f(1)+f(2) + ... + f(n)的时候,我们把他分城 m段(m= log(2)(n)) (分别为1,2,4,8,...2m-1)个元素(当然最后一端可能没有那么多)

求他们的和的话就是

2m-1(m-1) + 2m-2(m-2) + ....<2m-1m + 2m-2m + ... < 2mm 而m = log(2)(N)

 2mm =  2log(2)(n)*log(2)(n) = N * log(2)(N)

得证 哈哈