[复习资料]概率期望学习笔记

目录

• 概率期望学习笔记
  • 基础概念
    • 事件
    • 概率
      • 全概率公式
      • 贝叶斯公式
    • 期望
  • 简单应用
    • 经典问题
    • 简单期望练习题
  • 小结

概率期望学习笔记

基础概念

事件

互斥事件： 如果事件 (A) 和事件 (B) 无法同时发生，那么 (A) 和 (B) 是互斥事件。

对立事件：如果事件 (A) 和事件 (B) 无法同时发生，并且要么 (A) 发生，要么 (B) 发生，那么 (A) 和 (B) 是对立事件。

相互独立事件：如果事件 (A) 和事件 (B) 之间互不影响（即 (A) 发不发生和 (B) 发不发生无关），那么 (A) 和 (B) 是相互独立事件。

概率

概率是反映随机事件出现的可能性大小，随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。

• (P(A)) 表示事件 (A) 发生的概率。
• (P(A-B)) 表示事件 (A) 发生并且事件 (B) 不发生的概率。
• (P(A+B)) 表示事件 (A) 发生或者事件 (B) 发生的概率。
• (P(AB)) 表示事件 (A) 发生并且事件 (B) 发生的概率。
• (P(Amid B)) 表示事件 (A) 在事件 (B) 已经发生的条件下发生的概率。

全概率公式

如果 (B_1,B_2,dots,B_n) 互斥，并且 (cup_{i=1}^nB_i) 是全集（样本空间），那么：

[P(A)=sum_{i=1}^nP(Amid B_i) imes P(B_i) ]

贝叶斯公式

如果 (B_1,B_2,dots,B_n) 互斥，并且 (cup_{i=1}^nB_i) 是全集（样本空间），那么：

[P(Amid B_i)P(B_i)=P(B_imid A)P(A)=P(AB) ]

由此可以得到：

[P(B_imid A)=frac{P(Amid B_i)P(B_i)}{P(A)}=frac{P(Amid B_i)P(B_i)}{sum_{j=1}^nP(Amid B_j)P(B_j)} ]

期望

期望是每次结果乘以其概率之和，它反映的是随机变量平均取值的大小。

(E(X)) 表示变量 (X) 的期望。

设 (X,Y) 是两个随机变量， (C) 是一个常数，那么：

• (E(C)=C) 。
• (E(CX)=Ccdot E(X)) 。
• (E(X+Y)=E(X)+E(Y)) 。
• 如果 (X) 和 (Y) 相互独立，那么 (E(XY)=E(X)E(Y)) 。

如果事件 (X) 发生的概率都是是 (p) ，那么事件 (X) 期望 (frac{1}{p}) 次发生，因为 (E(X)=sum_{i=1}^{infty}P(Xge i)=sum_{i=1}^{infty}(1-p)^{i-1}=frac{1}{1-(1-p)}=frac{1}{p}) 。

简单应用

下面的题目不考虑复杂度等问题，重点在思维。

期望的线性性是一个很重要的性质，要学会使用。

经典问题

1. 每次随机一个 ([1,n]) 的整数，期望几次集齐所有数？
2. 随机一个长度为 (n) 的排列 (p) ，求 (p_i=max_{j=1}^ip_j) 的概率。
3. 随机一个长度为 (n) 的排列 (p) ，求满足 (p_i=max_{j=1}^ip_j) 的 (i) 的个数的平方的期望。
4. 随机一个长度为 (n) 的排列 (p) ，求 (i) 在 (j) 后面的概率。
5. 随机一个长度为 (n) 的排列 (p) ，求这个排列包含 (w_1,w_2,dots,w_m) 作为子序列的概率。
6. 随机一个长度为 (n) 的排列 (p) ，求这个排列包含 (w_1,w_2,dots,w_m) 作为连续子序列的概率。
7. 有 (n) 堆石子，第 (i) 堆个数为 (a_i) ，每次随机选一个石头然后扔掉这个石子在的整堆石子，求第 (1) 堆石头期望第几次被扔。
8. 随机一个长度为 (n) 的 01 串，每个位置是 (1) 的概率是 (p) ，定义 X 是每段连续为 (1) 的长度平方之和，求 (E(X)) 。
9. 给定一个排列，每次随机删除一个元素，问 (i) 和 (j) 在整个过程中存在一次相邻的概率。
10. 给定一棵树，将它的边随机顺序依次插入，求 (u,v) 期望何时连通。
11. 给定 (1sim n) 这些数，每次随机一个还在的数并且删除它和它的所有约数，期望何时删完？

答案在下面。

1. 如果已经集齐了 (x) 个不同的数，那么再集齐一个不同的数的概率是 (frac{n-x}{n}) ，期望 (frac{n}{n-x}) 次后集齐，答案就是 (sum_{x=0}^{n-1}frac{n}{n-x}) 。
2. 考虑如何构造一个长度为 (n) 的排列，可以从左到右依次插入数，由此可以看出概率为 (frac{1}{i}) 。
3. 平方也可以理解为从满足条件中的数中选一个再选一个的期望，设 (X_i) 表示 (p_i=max_{j=1}^ip_j) 这个事件，那么 (P(X_i)=frac{1}{i}) ，从上题可以看出 (X_i,X_j(i e j)) 彼此独立，所以 (P(X_iX_j)) 当 (i=j) 时等于 (frac{1}{i}) ，否则为 (frac{1}{ij}) ，答案就是 (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nP(X_iX_j)) 。
4. (i) 要么在 (j) 前面，要么在 (j) 后面，可以看出这两个等价，所以答案就是 (frac{1}{2}) 。
5. (w_1,w_2,dots,w_m) 在排列中出现顺序的方案共有 (m!) 种，答案就是 (frac{1}{m!}) 。
6. 统计合法方案数除以总数，枚举出现位置，答案是 (frac{1}{n!}(n-m+1)!) 。
7. 设 (P(i)) 表示第 (i) 堆石子在第 (1) 堆石子之前扔掉的概率，在仅考虑 (i) 和 (1) 的时候不需要考虑其他东西，所以 (P(i)=frac{a_i}{a_i+a_1}) ，答案就是 (1+sum_{i=2}^nP(i)) 。
8. 一样的，平方可以理解为先选一个再选一个，所以答案就是 (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^np^{mid i-jmid +1}) 。
9. 不妨假设 (j>i) ，相当于要求 ((i,j)) 中的所有数要比 (i,j) 先删除， ([i,j]) 中所有数先后顺序共有 ((j-i+1)!) 种可能，其中 (i,j) 在最后面共有 (2 imes (j-i-1)!) 可能，答案为 (frac{2}{(j-i)(j-i+1)}) 。
10. 设 (u,v) 之间的边数为 (s) ， (E(X)=sum_{i=1}^{n-1}P(Xge i)=sum_{i=1}^{n-1}(1-{i-1choose s}/{n-1choose s})) 。
11. 设 (P(i)) 表示 (i) 是在随机到 (i) 而不是 (i) 的倍数时删除的， (i) 的倍数共有 (lfloorfrac{n}{i} floor) 个，所以 (P(i)=frac{1}{lfloorfrac{n}{i} floor})，那么答案就是 (sum_{i=1}^nP(i)) 。

简单期望练习题

1. 给定 (n) 个硬币，第 (i) 个硬币的价值为 (w_i) ，每次随机取走一个硬币，获得的收益时左右两个硬币的价值之积，求期望总价值。
2. (n) 个数 ({a}) ，等概率选两个数，获得的收益时两个数之和，然后删除这两个数，把它们之和加入回去，求收益的期望。
3. (n) 个数 ({w}) ，随机一个排列 ({h}) ，如果 (2le ile n-1,h_i>max(h_{i-1},h_{i+1})) ，那么获得 (w_i) 的收益，求收益的期望。
4. 一棵树，每次选一个白点的然后染黑以这个点为根的整棵子树，求期望几次染黑整棵树。
5. (n) 个黑球， (m) 个白球，每次等概率取出一个球，不放回，将取出来的球的颜色写成一个 01 序列，求“01”（“0”后面紧接着一个“1”）的期望出现次数。
6. (n) 个点的树，第 (i) 个点有 (p_i) 的概率被删除，求期望连通块数量。
7. (n) 个点的树，从 (1) 号点开始 dfs ，每次遍历儿子节点时都是将所有儿子按随机顺序遍历，求每个点 dfs 序的期望。
8. (n) 个数，每个数都是从 ([1,m]) 中等概率随机得到的一个整数，求所有数最大值的期望。

答案在下面：

1. 设 (p_{i,j}(i+1<j)) 表示 (i,j) 是 ([i,j]) 中最后一个删除的，那么答案就是 (sum_{i=1}^{n}sum_{j=i+2}^{n}p_{i,j} imes w_i imes w_j) ，如何求 (p) 上面已经写过了。
2. 设 (p_i) 表示还剩 (i) 个数，这次选择两个数进行删除操作中包含第 (1) 个数的概率，那么 (p_i=frac{{i-1choose 2}}{{ichoose 2}}) ，由此可以得出每个数对答案进行贡献时乘以的系数 (E=sum_{i=2}^{n}p_i) ，答案就是 (E imes sum_{i=1}^na_i) 。
3. 相邻三个数 (h_{i-1},h_i,h_{i+1}) 的大小关系是等概率的，所以 (h_i>max(h_{i-1},h_{i+1})) 的概率就是 (frac{1}{3}) ，答案就是 (frac{1}{3} sum_{i=2}^{n-1}w_i) 。
4. 考虑转化题意，可以将题意转化为随机一个排列 ({a}) ，对于点 (i) ，如果存在 (1le j<i) 满足 (a_j) 是 (a_i) 的祖先，那么就不会造成贡献，否则造成 (1) 的贡献，求贡献的期望。发现转化后并不会对答案造成影响，对每个 (i) 分开算，设 (i) 的深度为 (d_i) ， (i) 及 (i) 的祖先出现顺序都是等概率的，所以 (i) 造成贡献的概率就是 (frac{1}{d_i}) ，答案就是 (sum_{i=1}^nfrac{1}{d_i}) 。
5. 设某个位置 (i(1le i<n+m)) 满足 (i) 和 (i+1) 分别是“0”和“1” 的概率为 (p) ，那么 (p=frac{frac{(n+m-2)!}{(n-1)!(m-1)!}}{frac{(n+m)!}{n!m!}}) ，答案就是 ((n+m-1)p) 。
6. 设删除的点集为 (S) ，其中有 (s) 条边连接的两个端点都被删除了，点 (i) 的度数为 (d_i) ，那么连通块数量就是 (1-s+sum_{iin S}(d_i-1)) ，依次考虑每条边和每个点即可。
7. 对于点 (i) ，设 (p_j) 表示 (j) 的 dfs 序小于 (i) 的概率，那么 (i) 的期望 dfs 序就是 (sum p_j) ，如果 (i=j) ，那么 (p_j=0) ，如果 (j) 是 (i) 的祖先，那么 (p_j=1) ，如果 (j) 是 (i) 的孩子，那么 (p_j=0) ，如果上面几种情况都不是，那么考虑遍历到 (i,j) 的 (operatorname{lca}) 的时候，先往 (i) 方向还是先往 (j) 方向遍历的概率是一样的，所以 (p_j=frac{1}{2}) 。
8. 最大值和最小值本质一样，考虑求最小值，那么 (E(X)=sum_{i=1}^{infty}P(Xge i)=sum_{i=1}^m(frac{m-i+1}{m})^n) 。

小结

概率期望还是挺有意思的，也挺重要的，主要还是要多练，这样才可以运用得更加熟练。