[数论] 欧拉函数

参考资料 : 欧拉函数及欧拉线性筛 - 辞树 - CSDN博客

欧拉(Eular)函数 $varphi $

欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（(varphi(1)=1)）

（互质：两数有且仅有公因数 $ 1 $）

$ $

$ $

欧拉函数 (varphi) 的性质

1. 若(n)为质数，(varphi(n) = n-1)

2. 对于 (n = p^{k}) ,有 (varphi(n) = (p-1)* p^{k-1})

3. 欧拉函数是积性函数，若(gcd(n,m)=1)，即(n)，(m)互质，有(varphi(n*m) = varphi(n)*varphi(m))

4. (n = sum_{i=1} ^{m} p_{i} ^{q_{i}}) ，则(varphi (n) = n * prod _{i=1} ^{m} (i - frac{1}{p_{i}}))

5. 欧拉定理：对于互质的(a)和(m)，(a^{varphi(m)} equiv 1 (mod) (m))

6.小于(n)且与(n)互质的数的和:(S = frac {n * varphi(n)}{2})

7. 对于质数(p),若(n) (mod) (p=0)，则(varphi(n*p) = varphi(n) * p) ；若(n) (mod) (p eq 0)，则 (varphi(n*p) = varphi(n) *(p-1))

8. 若(sum_{d|n}varphi(d) = n)，则 (varphi(n) = sum_{d|n} mu(d) * frac{n}{d})

显然后面几条我们用不上....反正先写着咯

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于是有了欧拉筛求素数顺便(雾)求欧拉函数值的代码

void getprime(int lim)
{
    nop[1]=1,phi[1]=0;
    for(int i=2;i<=lim;i++)
    {
        if(!nop[i])pri[++size]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=size&&i*pri[j]<=lim;j++)
        {
            nop[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
}

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说说几道题吧

[HAOI2012]外星人

题面:

艾莉欧在她的被子上发现了一个数字 N ，她觉得只要找出最小的 (x) 使得(varphi^{x}(N) =1)
。根据这个 $x $她就能找到曾经绑架她的外星人的线索了。当然，她是不会去
算，请你帮助她算出最小的 (x)。

输入:

           第一行一个正整数$ test$，接下来 $test$ 组数据每组数据第一行一个正整数$ m $，接下来

$m $行每行两个正整数 $q_{i} $ 和 (p_{i})

           其中$prod_{i=1}^{m}p_{i}^{q_{i}}$为 $N$ 的标准分解形式。

1
2
2 2
3 1

输出:

         每行一个整数$ans$

3

样例解释：

(N=12 , varphi(12)=4,varphi(4)=2,varphi(2)=1)，所以答案是3.

(varphi(prod_{i=1}^{m}p_{i}^{q_{i}})=prod_{i=1}^{m}(p_{i}-1)p_{i}^{q_{i}-1})

分析：

     其实题目求的是使得$varphi( varphi... (varphi (N)))=1$中$varphi$操作的个数

通过打表 可以发现，只有(varphi(1))和(varphi(2))的值为1，所以在最后一步前必然要把(N)转化为2(因为不能转为1啊，转1就两种方式)，那么根据题目所提示之公式，因为每次出现了 (q_{i}-1)，则必然会变少一个因子2(幂数变小)，求出2的个数即可。但要注意若刚开始没有因子2则要多一步

      phi[i]表示i含有几个2，即要几次变成1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+6;
int phi[N],prime[N];
bool isprime[N];
int T,m,p,q,cnt;
void Prime(){
	memset(prime,0,sizeof(prime));
	memset(isprime,false,sizeof(isprime));
	isprime[0]=isprime[1]=true;
	phi[1]=1;
	for(int i=1;i<=N;++i){
		if(!isprime[i]){
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=phi[i-1];
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;++j){
			isprime[prime[j]*i]=true;
			phi[i*prime[j]]=phi[i]+phi[prime[j]];
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}
int main(){
	freopen("alien.in","r",stdin);
	freopen("alien.out","w",stdout);
	
	Prime();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int ans=0;
		bool f=false;
		scanf("%d",&m);
		for(int i=1;i<=m;++i){
			scanf("%d%d",&p,&q);
			if(p==2)f=true;
			ans+=phi[p]*q;
		}
		printf("%d
",ans+(f?0:1));
	}
	return 0;
}